Ein Satz, der besagt, dass, wenn eine Funktion auf [a,b] stetig und auf (a,b) differenzierbar ist, es ein c∈(a,b) gibt mit f'(c) = (f(b)-f(a))/(b-a), womit die mittlere Änderungsrate mit einer instantanen Ableitung verknüpft wird.

Prinzip

Globale Änderung über ein Intervall mit einer lokalen Ableitung über ein Existenzargument (meist aus Rolles Satz) verknüpfen: die Ableitung in einem inneren Punkt entspricht der Sekantensteigung, was lokales und globales Verhalten verbindet.

Demonstration

Für f(x)=x^2 auf [1,3] ist die mittlere Änderungsrate (f(3)-f(1))/(3-1)=(9-1)/2=4, und es existiert c mit f'(c)=2c=4, nämlich c=2, was den Satz konkret zeigt.

Fehlanwendung

Den Satz anwenden, wenn die Differenzierbarkeit im offenen Intervall fehlt oder Endpunkte nicht korrekt behandelt werden (z. B. Ableitung an den Endpunkten voraussetzen), oder ihn bei nicht differenzierbaren Knicken verwenden.

Konsequenz

Liefert Fehlerabschätzungen, begründet Taylor-Entwicklungen mit Restgliedern, stützt Eindeutigkeitsaussagen (wenn f'=0, dann ist f konstant) und liefert Schranken für Funktionszuwächse mittels Supremum der Ableitung.

Umkehrung

Ohne Differenzierbarkeit kann die Schlussfolgerung fehlschlagen, doch verallgemeinerte Formen (Cauchys Mittelwertsatz oder Darboux-ähnliche Aussagen) ersetzen gelegentlich die Hypothesen; die Existenz eines solchen c bestimmt jedoch nicht allein die globale Monotonie.

Abgrenzung

Voraussetzung ist Stetigkeit auf dem abgeschlossenen Intervall und Differenzierbarkeit auf dem offenen Intervall; gilt nicht für Funktionen mit inneren Nicht-Differenzierbarkeiten, für Abbildungen zwischen Banachräumen ohne geeignete Ableitungsbegriffe oder für Endpunkte ohne einseitige Ableitungen.

Semantische Spannung

Spannung zum Cauchy-Mittelwertsatz und zu Taylor: Cauchys Form vergleicht zwei Funktionen und ergibt ein Verhältnis der Ableitungen, Taylor liefert höherordentliche lokale Approximationen; die Wahl hängt von verfügbarer Glattheit und gewünschter Abschätzung ab.

Synthese

Der Mittelwertsatz identifiziert einen Punkt, an dem die momentane Änderungsrate der mittleren Änderungsrate über das Intervall entspricht, verbindet differentiale Informationen mit Differenzen und bildet eine Grundlage für Abschätzungen, Eindeutigkeiten und Verallgemeinerungen.