Teorema que afirma que si una función es continua en [a,b] y diferenciable en (a,b), entonces existe c en (a,b) tal que f'(c) = (f(b)-f(a))/(b-a), relacionando la tasa media de cambio con una derivada instantánea.

Principio

Relacionar incrementos globales con la derivada local mediante un resultado de existencia (a menudo deducido del teorema de Rolle): la derivada en algún punto interior iguala la pendiente de la secante, conectando comportamiento local y global.

Demostración

Para f(x)=x^2 en [1,3], la tasa media (f(3)-f(1))/(3-1)=(9-1)/2=4, y existe c con f'(c)=2c=4, concretamente c=2, mostrando el teorema.

Aplicación incorrecta

Aplicar el teorema cuando no existe diferenciabilidad en el intervalo abierto o tratar mal los extremos (por ejemplo, suponer derivada en los extremos), o usarlo en cúspides no diferenciables.

Consecuencia

Aporta estimaciones de error, justifica desarrollos de Taylor con término resto, sustenta resultados de unicidad (si f'=0 entonces f es constante) y suministra cotas sobre incrementos mediante el supremo de la derivada.

Inversión

Sin diferenciabilidad la conclusión puede fallar, aunque versiones generalizadas (teorema de Cauchy o resultados tipo Darboux) pueden sustituir las hipótesis; la existencia de tal c no determina por sí sola la monotonicidad global.

Límite

Requiere continuidad en el intervalo cerrado y diferenciabilidad en el intervalo abierto; no se aplica a funciones con puntos no diferenciables en el interior, a aplicaciones entre espacios de Banach sin una noción adecuada de derivada, ni a extremos sin derivadas laterales.

Tensión semántica

Tensión con el teorema del valor medio de Cauchy y con Taylor: la forma de Cauchy compara dos funciones y da una relación de derivadas, mientras que Taylor proporciona aproximaciones locales de orden superior; la elección depende de la regularidad disponible y la estimación deseada.

Síntesis

El teorema del valor medio identifica un punto donde la tasa instantánea iguala la tasa media en un intervalo, vinculando información diferencial con diferencias finitas y sirviendo de pilar para estimaciones, unicidad y generalizaciones.