Une semi‑norme p sur un espace vectoriel est un fonctionnel non négatif vérifiant l’homogénéité absolue p(αv)=|α|p(v) et la sous‑additivité p(u+v)≤p(u)+p(v), mais elle peut s’annuler sur des vecteurs non nuls (son noyau peut être non trivial), de sorte que la positivité définie peut échouer.

Principe

Idée organisatrice : une semi‑norme mesure la taille à une sous‑espace nul près ; elle préserve le redimensionnement et la sous‑additivité mais admet un noyau non trivial, ce qui la rend adaptée pour engendrer des topologies localement convexes via des familles de semi‑normes.

Démonstration

Exemple : sur l’espace des fonctions continues C(R), poser p(f)=|f(0)|. p est une semi‑norme : homogène et sous‑additive, mais p(f)=0 pour toute f s’annulant en 0, donc des fonctions non nulles ont une semi‑norme nulle. Des familles de telles semi‑normes définissent les topologies usuelles sur les espaces de fonctions lisses ou de distributions.

Mauvaise application

Employer une semi‑norme comme si c’était une norme quand on a besoin d’inversibilité ou d’unicité ; par exemple, conclure de p(f)=0 que f=0 conduit à des erreurs. Un autre mauvais usage est d’ignorer le noyau lors de la construction d’espaces quotient où il faut factoriser par le noyau.

Conséquence

Les semi‑normes permettent des constructions topologiques flexibles : des familles finies ou dirigées de semi‑normes engendrent des topologies localement convexes, des cadres de dualité et des espaces de distributions. Passer au quotient par le noyau transforme une semi‑norme en norme véritable.

Inversion

Le contraire est une norme, qui est une semi‑norme au noyau trivial (p(v)=0 n’implique que v=0). Là où une semi‑norme ne détecte pas certaines directions, une norme détecte tout vecteur non nul.

Limite

Définie sur des espaces vectoriels et exigeant homogénéité et sous‑additivité ; elle ne demande pas la positivité définie. Les semi‑normes se distinguent des quasi‑normes (qui relâchent l’inégalité triangulaire) et des jauges qui peuvent manquer d’homogénéité.

Tension sémantique

Tension entre semi‑normes et normes, et entre une semi‑norme unique et des familles : une seule semi‑norme sépare peu, tandis qu’une famille séparatrice de semi‑normes peut induire une topologie de Hausdorff. Il faut distinguer le noyau d’une semi‑norme des vecteurs effectivement nuls.

Synthèse

Une semi‑norme est une mesure de taille sur un espace vectoriel qui respecte la mise à l’échelle et la sous‑additivité mais peut s’annuler sur un sous‑espace ; utilisée en familles, elle engendre les topologies localement convexes centrales en analyse fonctionnelle.