Una seminorma p en un espacio vectorial es un funcional no negativo que satisface homogeneidad absoluta p(αv)=|α|p(v) y subaditividad p(u+v)≤p(u)+p(v), pero puede anularse en vectores no nulos (su núcleo puede ser no trivial), por lo que la positividad definida puede fallar.

Principio

Idea organizadora: una seminorma mide tamaño salvo un posible subespacio nulo; preserva el escalado y la subaditividad pero admite un núcleo no trivial, lo que la hace útil para generar topologías localmente convexas mediante familias de seminormas.

Demostración

Ejemplo: en el espacio de funciones continuas C(R) definir p(f)=|f(0)|. p es una seminorma: homogénea y subaditiva, pero p(f)=0 para toda f que se anule en 0, de modo que funciones no nulas pueden tener seminorma cero. Familias de estas seminormas definen las topologías estándar en espacios de funciones suaves o distribuciones.

Aplicación incorrecta

Emplear una seminorma como si fuera una norma cuando se necesita invertibilidad o unicidad; por ejemplo, deducir f=0 de p(f)=0 conduce a conclusiones falsas. Otro uso indebido es ignorar el núcleo al formar espacios cociente, donde debe factorizarse por el núcleo.

Consecuencia

Las seminormas permiten construcciones topológicas flexibles: familias finitas o dirigidas de seminormas generan topologías localmente convexas, marcos de dualidad y espacios de distribuciones. Pasar al cociente por el núcleo convierte una seminorma en una norma verdadera.

Inversión

La inversión es una norma, que es una seminorma con núcleo trivial (p(v)=0 solo si v=0). Donde una seminorma no detecta ciertas direcciones, una norma detecta todo vector no nulo.

Límite

Definida en espacios vectoriales y exigiendo homogeneidad y subaditividad; no requiere positividad definida. Las seminormas se distinguen de las quasi‑normas (que relajan la desigualdad triangular) y de las gauges que pueden carecer de homogeneidad.

Tensión semántica

Existe tensión entre seminormas y normas, y entre una única seminorma y familias: una sola seminorma separa poco, mientras que una familia separadora de seminormas puede inducir una topología de Hausdorff. Hay que distinguir el núcleo de una seminorma de los vectores realmente nulos.

Síntesis

Una seminorma es una medida de tamaño en un espacio vectorial que respeta el escalado y la subaditividad pero puede anularse en un subespacio; usada en familias, genera las topologías localmente convexas centrales en análisis funcional.