Eine Halbnorm p auf einem Vektorraum ist ein nichtnegatives Funktional, das absolute Homogenität p(αv)=|α|p(v) und Subadditivität p(u+v)≤p(u)+p(v) erfüllt, aber auf nichttrivialen Vektoren verschwinden kann (sein Kern kann nicht trivial sein), sodass positive Definitheit nicht gefordert ist.

Prinzip

Organisierende Idee: Eine Halbnorm misst Größe bis auf einen möglichen Nullunterraum; sie bewahrt Skalierung und Subadditivität, erlaubt aber einen nichttrivialen Kern und eignet sich daher zur Erzeugung lokal konvexer Topologien durch Familien von Halbnormen.

Demonstration

Beispiel: Auf dem Raum stetiger Funktionen C(R) definiere p(f)=|f(0)|. p ist eine Halbnorm: homogen und subadditiv, aber p(f)=0 für jede Funktion, die in 0 verschwindet, sodass nicht‑null Funktionen Null‑Halbnorm haben können. Familien solcher Halbnormen definieren Standardtopologien auf Räumen glatter Funktionen oder Distributionen.

Fehlanwendung

Eine Halbnorm wie eine Norm zu verwenden, wenn Invertibilität oder Eindeutigkeit benötigt werden; z. B. aus p(f)=0 f=0 zu folgern führt zu falschen Schlüssen. Ein weiterer Missbrauch ist das Ignorieren des Kerns beim Bilden von Quotientenräumen, wo man durch den Kern faktorisieren muss.

Konsequenz

Halbnormen erlauben flexible topologische Konstruktionen: endliche oder gerichtete Familien von Halbnormen erzeugen lokal konvexe Topologien, Dualitätsrahmen und Distributionsräume. Das Bilden des Quotienten nach dem Kern wandelt eine Halbnorm in eine echte Norm um.

Umkehrung

Die Umkehrung ist eine Norm, eine Halbnorm mit trivialem Kern (p(v)=0 nur für v=0). Wo eine Halbnorm bestimmte Richtungen nicht erkennt, erkennt eine Norm jeden nicht‑null Vektor.

Abgrenzung

Definiert auf Vektorräumen und verlangt Homogenität sowie Subadditivität; positive Definitheit ist nicht Voraussetzung. Halbnormen unterscheiden sich von Quasinormen (welche die Dreiecksungleichung abschwächen) und von Gauges, denen Homogenität fehlen kann.

Semantische Spannung

Spannung besteht zwischen Halbnormen und Normen und zwischen einzelnen Halbnormen und Familien: eine einzelne Halbnorm bietet wenig Trennung, während eine trennende Familie von Halbnormen eine Hausdorff‑Topologie erzeugen kann. Man muss den Kern einer Halbnorm von echten Nullvektoren unterscheiden.

Synthese

Eine Halbnorm ist ein Größenmaß auf einem Vektorraum, das Skalierung und Subadditivität respektiert, aber auf einem Unterraum verschwinden kann; in Familien erzeugt sie die lokal konvexen Topologien, die in der Funktionalanalysis zentral sind.