Une norme est une application ‖·‖ d’un espace vectoriel vers [0,∞) attribuant à chaque vecteur une longueur non négative et vérifiant la positivité définie (‖v‖=0 ssi v=0), l’homogénéité absolue (‖αv‖=|α|‖v‖) et l’inégalité triangulaire (‖u+v‖≤‖u‖+‖v‖).

Principe

L’idée organisatrice est la mesure de la taille d’un vecteur compatible avec la structure linéaire : l’homogénéité relie la multiplication par un scalaire à un facteur d’échelle, tandis que l’inégalité triangulaire encode une géométrie sous‑additive utilisée pour définir métriques et topologies sur les espaces vectoriels.

Démonstration

Exemples classiques : la norme euclidienne sur R^n, les normes p ‖x‖_p=(∑|x_i|^p)^{1/p} pour 1≤p<∞, et la norme du supérieur sur C([a,b]). Les normes induisent des métriques d(u,v)=‖u-v‖ et engendrent les notions usuelles de convergence et de continuité.

Mauvaise application

Supposer à tort qu’une forme positive quelconque est une norme sans vérifier la positivité définie (par exemple, une semi-norme peut s’annuler sur des vecteurs non nuls). Ou employer une quasi-norme (qui viole l’inégalité triangulaire) comme si c’était une norme dans des preuves qui reposent sur l’inégalité triangulaire.

Conséquence

Une norme fournit une topologie et une structure métrique, permettant d’analyser convergence, complétude, compacité (en dimension finie) et bornitude. L’équivalence des normes en dimension finie implique que de nombreuses propriétés analytiques sont indépendantes de la norme particulière choisie.

Inversion

Le contraste est avec les semi-normes ou quasi-normes : les semi-normes satisfont homogénéité et sous‑additivité mais peuvent avoir un noyau non trivial ; les quasi‑normes relâchent l’inégalité triangulaire. Les métriques dépourvues d’homogénéité linéaire contrastent aussi.

Limite

Les normes sont définies sur des espaces vectoriels ; elles supposent une structure linéaire et n’incluent pas des fonctions de distance arbitraires. En dimension infinie, les normes ne sont pas toutes équivalentes et les conséquences topologiques dépendent du choix de la norme.

Tension sémantique

La tension existe entre normes et concepts apparentés : semi‑normes, normes induites par un produit scalaire, et fonctions jauge ou de Minkowski. Il faut distinguer si la positivité définie ou l’inégalité triangulaire stricte sont satisfaites selon l’usage envisagé.

Synthèse

Une norme est l’outil qui mesure la magnitude d’un vecteur en harmonie avec la multiplication scalaire et l’addition, produisant le cadre métrique et topologique fondamental de l’analyse linéaire.