Eine Norm ist eine Abbildung ‖·‖ von einem Vektorraum nach [0,∞), die jedem Vektor eine nichtnegative Länge zuweist und die Eigenschaften positive Definitheit (‖v‖=0 genau dann wenn v=0), absolute Homogenität (‖αv‖=|α|‖v‖) und Dreiecksungleichung (‖u+v‖≤‖u‖+‖v‖) erfüllt.

Prinzip

Die zentrale Idee ist die Messung der Vektorgröße im Einklang mit der linearen Struktur: Homogenität verknüpft Skalarmultiplikation mit Skalierung, die Dreiecksungleichung kodiert subadditive Geometrie und liefert Metriken und Topologien auf Vektorräumen.

Demonstration

Standardbeispiele: die euklidische Norm auf R^n, p‑Normen ‖x‖_p=(∑|x_i|^p)^{1/p} für 1≤p<∞ und die Supremumsnorm auf C([a,b]). Normen induzieren Metriken d(u,v)=‖u-v‖ und erzeugen die üblichen Begriffe von Konvergenz und Stetigkeit.

Fehlanwendung

Irrtümlich anzunehmen, jede positive Funktion sei eine Norm, ohne positive Definitheit zu prüfen (z. B. können Seminormen auf nicht‑null Vektoren verschwinden). Oder eine Quasi‑Norm zu verwenden (Verletzung der Dreiecksungleichung) als Norm in Beweisen, die die Dreiecksungleichung benötigen.

Konsequenz

Eine Norm liefert eine Topologie und Metrikstruktur, erlaubt die Untersuchung von Konvergenz, Vollständigkeit, Kompaktheit (in endlichen Dimensionen) und Beschränktheit. In endlichdimensionalen Räumen sind Normen äquivalent und viele analytische Eigenschaften unabhängig von der gewählten Norm.

Umkehrung

Der Gegensatz sind Seminormen oder Quasinormen: Seminormen erfüllen Homogenität und Subadditivität, können aber einen nichttrivialen Kern haben; Quasinormen schwächen die Dreiecksungleichung. Auch Metriken ohne lineare Homogenität stehen im Kontrast.

Abgrenzung

Normen sind auf Vektorräumen definiert; sie setzen lineare Struktur voraus und umfassen nicht beliebige Distanzfunktionen. In unendlichdimensionalen Räumen sind Normen nicht alle äquivalent, sodass topologische Folgen vom Normwahl abhängen.

Semantische Spannung

Spannung besteht zwischen Normen und verwandten Konzepten wie Seminormen, durch Skalarprodukt induzierten Normen und Minkowski-Jauegenfunktionen. Es ist zu klären, ob positive Definitheit oder strenge Dreiecksungleichung für die Anwendung gelten.

Synthese

Eine Norm ist das Mittel, die Größe eines Vektors in einer Weise zu messen, die mit Skalarmultiplikation und Addition verträglich ist und so die metrische und topologische Grundlage der linearen Analysis liefert.