Una norma es una función ‖·‖ de un espacio vectorial a [0,∞) que asigna a cada vector una longitud no negativa y satisface la positividad definida (‖v‖=0 si y solo si v=0), homogeneidad absoluta (‖αv‖=|α|‖v‖) y la desigualdad triangular (‖u+v‖≤‖u‖+‖v‖).

Principio

La idea central es la medición del tamaño del vector compatible con la estructura lineal: la homogeneidad liga la multiplicación escalar al escalado, mientras que la desigualdad triangular codifica la geometría subaditiva usada para definir métricas y topologías en espacios vectoriales.

Demostración

Ejemplos estándar: la norma euclidiana en R^n, las normas p ‖x‖_p=(∑|x_i|^p)^{1/p} para 1≤p<∞, y la norma supremo en C([a,b]). Las normas inducen métricas d(u,v)=‖u-v‖ y generan nociones habituales de convergencia y continuidad.

Aplicación incorrecta

Suponer equivocadamente que cualquier funcional positivo es una norma sin comprobar la positividad definida (por ejemplo, las seminormas pueden anularse en vectores no nulos). O usar una quasi‑norma (que viola la desigualdad triangular) como si fuera una norma en pruebas que dependen de la desigualdad triangular.

Consecuencia

Una norma proporciona una topología y estructura métrica, permitiendo el estudio de convergencia, completitud, compacidad (en dimensiones finitas) y acotación. La equivalencia de normas en espacios finito‑dimensionales significa que muchas propiedades analíticas son independientes de la norma elegida.

Inversión

El contraste lo forman las seminormas o quasi‑normas: las seminormas satisfacen homogeneidad y subaditividad pero pueden tener un núcleo no trivial; las quasi‑normas relajan la desigualdad triangular. También contrastan métricas sin homogeneidad lineal.

Límite

Las normas se definen en espacios vectoriales; presuponen estructura lineal y no abarcan funciones de distancia arbitrarias. En espacios de dimensión infinita las normas no son todas equivalentes y las consecuencias topológicas dependen de la norma escogida.

Tensión semántica

Existe tensión entre normas y conceptos relacionados: seminormas, normas inducidas por un producto interior y funcionales de Minkowski. Hay que distinguir si la positividad definida o la desigualdad triangular estricta se satisfacen según la aplicación.

Síntesis

Una norma es el instrumento que mide la magnitud de un vector de forma coherente con la multiplicación escalar y la suma, produciendo el marco métrico y topológico utilizado en el análisis lineal.