Propriété selon laquelle une fonction admet en un point une approximation linéaire : il existe une application linéaire (la dérivée) qui approxime les incréments d'ordre un de sorte que f(x0+h)=f(x0)+Df(x0)[h]+o(‖h‖). En R cela se réduit à la limite du quotient de différences.

Principe

Linéarisation d'ordre un : le comportement principal de l'incrément est capté par une application linéaire, et le reste est d'ordre strictement inférieur à l'incrément d'entrée.

Démonstration

Pour f(x)=x^2 sur R, la dérivée en x0 est Df(x0)=2x0 car f(x0+h)-f(x0)=2x0 h + h^2, le terme h^2 étant o(h). La valeur absolue |x| n'est pas différentiable en 0 car les quotients de différences à droite et à gauche diffèrent.

Mauvaise application

Prendre la différentiabilité pour équivalente à la continuité (la différentiabilité implique la continuité mais pas l'inverse), ou déduire la différentiabilité sur un voisinage à partir d'informations en un ensemble dense : la différentiabilité ponctuelle n'aboutit pas forcément à une différentiabilité sur un voisinage.

Conséquence

La différentiabilité fournit des approximations linéaires, la règle de la chaîne et le théorème des accroissements finis sous des hypothèses modestes ; une régularité supérieure (C^k, lisse) suit de l'existence de dérivées successives. En dimension finie elle donne une approximation locale par des applications tangentes.

Inversion

La non-différentiabilité survient lorsque aucune application linéaire ne donne l'approximation d'ordre un requise malgré éventuellement la continuité : coins, cuspides et certains graphes fractals sont continus mais non différentiables.

Limite

Différentes notions coexistent : différentiabilité de Fréchet en espaces de Banach, différentiabilité de Gâteaux comme concept directionnel plus faible, et la dérivée classique en variable réelle. La différentiabilité nécessite une structure linéaire et un cadre normé pour la définition standard.

Tension sémantique

Tension avec la régularité et l'analyticité : la différentiabilité (existence d'une dérivée) n'implique pas la lissité (existence de toutes les dérivées successives) ni l'analyticité (développement en série de puissances) ; ces notions sont strictement plus fortes.

Synthèse

La différentiabilité exige qu'une fonction possède une meilleure approximation linéaire d'ordre un en un point ; elle renforce la continuité par un modèle linéaire local et fonde les règles du calcul différentiel et les techniques de linéarisation.