Propiedad de que una función admite una aproximación lineal en un punto: existe una aplicación lineal (la derivada) que aproxima los incrementos de primer orden de forma que f(x0+h)=f(x0)+Df(x0)[h]+o(‖h‖). En R esto se reduce al límite del cociente incremental.

Principio

Linealización de primer orden: el comportamiento principal del incremento es capturado por una aplicación lineal, y el resto es de orden estrictamente inferior al incremento de la entrada.

Demostración

Para f(x)=x^2 en R la derivada en x0 es Df(x0)=2x0 porque f(x0+h)-f(x0)=2x0 h + h^2 y el término h^2 es o(h). La función valor absoluto |x| no es diferenciable en 0 porque los cocientes incrementales laterales difieren.

Aplicación incorrecta

Suponer que diferenciabilidad equivale a continuidad (la diferenciabilidad implica continuidad pero no al revés), o inferir diferenciabilidad en un entorno a partir de datos en un conjunto denso: la diferenciabilidad puntual no tiene por qué extenderse a una vecindad.

Consecuencia

La diferenciabilidad proporciona aproximaciones lineales, la regla de la cadena y el teorema del valor medio bajo hipótesis suaves; la mayor regularidad (C^k, suavidad) resulta de la existencia de derivadas sucesivas. En dimensiones finitas permite aproximaciones locales por aplicaciones tangentes.

Inversión

La no diferenciabilidad se da cuando no existe ninguna aplicación lineal que proporcione la aproximación de primer orden requerida a pesar de la posible continuidad. Esquinas, cúspides y ciertos gráficos fractales son continuos pero no diferenciables.

Límite

Existen nociones diferentes: diferenciabilidad de Fréchet en espacios de Banach, diferenciabilidad de Gâteaux como concepto direccional más débil, y la derivada clásica en variable real. La diferenciabilidad estándar requiere estructura lineal y entorno normado.

Tensión semántica

Tensión con suavidad y analiticidad: la diferenciabilidad (existencia de una derivada) no implica necesariamente suavidad (existencia de todas las derivadas) ni analiticidad (serie de potencias); estas son nociones estrictamente más fuertes.

Síntesis

La diferenciabilidad exige que una función tenga la mejor aproximación lineal de primer orden en un punto; refuerza la continuidad con un modelo lineal local y constituye la base de las reglas del cálculo y de las técnicas de linealización.