Eigenschaft, dass eine Funktion an einem Punkt eine lineare Approximation besitzt: Es existiert eine lineare Abbildung (die Ableitung), die die erste Ordnung der Inkremente approximiert, sodass f(x0+h)=f(x0)+Df(x0)[h]+o(‖h‖). In R reduziert sich dies auf den Limes des Differenzenquotienten.

Prinzip

Linearisierung erster Ordnung: Das führende Verhalten des Inkrements wird durch eine lineare Abbildung erfasst, der Rest ist von strikt kleinerer Ordnung als das Eingangsincrement.

Demonstration

Für f(x)=x^2 auf R ist die Ableitung in x0 Df(x0)=2x0, denn f(x0+h)-f(x0)=2x0 h + h^2 und das h^2 ist o(h). Die Betragsfunktion |x| ist in 0 nicht differenzierbar, da die einseitigen Differenzenquotienten verschieden sind.

Fehlanwendung

Anzunehmen, Differenzierbarkeit sei gleichbedeutend mit Stetigkeit (Differenzierbarkeit impliziert Stetigkeit, aber nicht umgekehrt), oder aus Kenntnissen auf einer dichten Menge auf Differenzierbarkeit in einer Umgebung zu schließen — punktweise Differenzierbarkeit muss sich nicht auf ein Gebiet fortsetzen.

Konsequenz

Differenzierbarkeit liefert lineare Approximationen, die Kettenregel und den Mittelwertsatz unter milden Voraussetzungen; höhere Regularität (C^k, Glattheit) folgt bei Existenz höherer Ableitungen. In endlichdimensionalen Räumen bedeutet Differenzierbarkeit lokale Approximation durch Tangentialabbildungen.

Umkehrung

Nichtdifferenzierbarkeit tritt dort auf, wo keine lineare Abbildung die erforderliche erste Ordnung approximiert, obwohl die Funktion eventuell stetig ist. Ecken, Spitzen und bestimmte fraktale Graphen sind Beispiele für stetige, aber nicht differenzierbare Funktionen.

Abgrenzung

Unterscheidung verschiedener Konzepte: Fréchet-Differenzierbarkeit in Banach-Räumen, Gâteaux-Differenzierbarkeit als schwächeres Richtungsableitungskonzept und die klassische Ableitung in einer reellen Variablen. Die Definition benötigt lineare Struktur und Normenraum-Kontext.

Semantische Spannung

Spannung zu Glattheit und Analytizität: Differenzierbarkeit (Existenz einer Ableitung) impliziert nicht automatisch Glattheit (Existenz aller höheren Ableitungen) noch Analytizität (Potenzreihen-Entwicklung); diese Eigenschaften sind streng stärker.

Synthese

Differenzierbarkeit verlangt, dass eine Funktion in einem Punkt eine beste lineare erste Ordnung-Approximation besitzt; sie stärkt Stetigkeit zu einem quantitativen lokalen linearen Modell und ist Grundlage der Differentialrechnung und Lineariserungsverfahren.