Il existe une constante L≥0 telle que pour tous x,y du domaine, d(f(x),f(y)) ≤ L·d(x,y). Le plus petit tel L est appelé constante de Lipschitz. Ceci donne une borne linéaire globale sur les incréments.

Principe

Contrôle linéaire (d'ordre un) des incréments : les différences de sortie sont majorées par un multiple fixé des distances d'entrée, produisant un module uniforme de régularité linéaire.

Démonstration

La fonction linéaire f(x)=kx sur R est de Lipschitz avec constante L=|k|. La fonction sinus est Lipschitz sur R avec L=1 car |sin x - sin y| ≤ |x-y|. En revanche f(x)=√x sur [0,1] n'est pas Lipschitz en 0.

Mauvaise application

Penser que la continuité de Lipschitz implique la différentiabilité partout ; si une dérivée bornée entraîne la propriété de Lipschitz, une fonction Lipschitz n'est pas nécessairement différentiable en tous points (elle l'est presque partout en dimension finie mais peut échouer en de nombreux points).

Conséquence

La continuité de Lipschitz entraîne la continuité uniforme ; elle fournit des résultats de stabilité comme l'unicité et la dépendance continue des solutions pour les problèmes de Cauchy (Picard–Lindelöf). Elle borne aussi les oscillations et impose un module de continuité linéaire.

Inversion

Une fonction uniformément continue mais non Lipschitz peut présenter des incréments qui croissent plus vite que linéairement à petites échelles, par exemple Hölder avec exposant α<1 ; l'inversion de l'inégalité montre l'incapacité à contrôler les incréments par une constante linéaire unique.

Limite

Se formule en espaces métriques ou normés ; pour les applications vectorielles on emploie la norme d'opérateur. La propriété est globale — la Lipschitzité locale est plus faible et importante en géométrie et en théorie des équations différentielles.

Tension sémantique

Tension avec la différentiabilité (dérivée bornée ⇒ Lipschitz, mais pas réciproquement) et avec la continuité de Hölder (Lipschitz correspond au cas α=1 de Hölder) : ces notions sont reliées mais strictement ordonnées.

Synthèse

La continuité de Lipschitz impose une borne linéaire uniforme sur la variation des sorties en fonction de la distance des entrées ; elle occupe une place intermédiaire entre la douceur et la simple continuité et sert d'hypothèse pratique pour la stabilité et l'unicité.