Es existiert eine Konstante L≥0 mit d(f(x),f(y)) ≤ L·d(x,y) für alle x,y im Definitionsbereich. Die kleinste solche L heißt Lipschitz-Konstante. Das liefert eine globale lineare Schranke für Inkremente.

Prinzip

Lineare (erste Ordnung) Kontrolle der Inkremente: Ausgangsdifferenzen werden durch ein festes Vielfaches der Eingangsdistanzen beschränkt und ergeben eine uniforme, linear wachsende Modulusfunktion.

Demonstration

Die lineare Abbildung f(x)=kx auf R ist Lipschitz mit L=|k|. Die Sinusfunktion ist auf R Lipschitz mit L=1, denn |sin x - sin y| ≤ |x-y|. Dagegen ist f(x)=√x auf [0,1] nicht Lipschitz in 0.

Fehlanwendung

Anzunehmen, Lipschitz-Stetigkeit impliziere Differenzierbarkeit; zwar folgt aus einer beschränkten Ableitung Lipschitz-Stetigkeit, aber eine Lipschitz-Funktion muss nicht überall differenzierbar sein (in endlichdimensionalen Räumen ist sie fast überall differenzierbar, kann aber viele Nicht-Differenzierbarkeitsstellen besitzen).

Konsequenz

Lipschitz-Stetigkeit impliziert gleichmäßige Stetigkeit; sie liefert Stabilitätsresultate wie Eindeutigkeit und stetige Abhängigkeit in Anfangswertproblemen für ODEs (Picard–Lindelöf). Sie beschränkt Oszillation und kontrolliert den Kontinuitätsmodul linear.

Umkehrung

Eine gleichmäßig stetige, aber nicht Lipschitz-Funktion kann Inkremente aufkleiner Skala haben, die nicht linear durch eine Konstante beschränkt werden, z. B. Hölder mit Exponent α<1. Die Umkehrung der Ungleichung zeigt das Versagen einer einzigen linearen Schranke.

Abgrenzung

Formuliert in metrischen oder normierten Räumen; für vektorwertige Abbildungen verwendet man Operatornormen. Lipschitz ist eine globale Bedingung — lokale Lipschitz-Stetigkeit ist schwächer und in vielen Anwendungen relevant.

Semantische Spannung

Spannung mit Differenzierbarkeit (beschränkte Ableitung ⇒ Lipschitz, nicht umgekehrt) und mit Hölder-Stetigkeit (Lipschitz = Hölder mit α=1): die Begriffe hängen zusammen, sind aber streng hierarchisch angeordnet.

Synthese

Lipschitz-Stetigkeit setzt eine uniforme lineare Schranke der Ausgangsvariation gegenüber Eingabedistanzen und bietet so brauchbare Hypothesen zur Stabilität und Eindeutigkeit in analytischen Problemstellungen.