Existe una constante L≥0 tal que para todos x,y del dominio, d(f(x),f(y)) ≤ L·d(x,y). La menor de estas constantes se llama constante de Lipschitz. Esto proporciona una cota lineal global a los incrementos.

Principio

Control lineal (de primer orden) de los incrementos: las diferencias de salida quedan acotadas por un múltiplo fijo de las distancias de entrada, lo que da un módulo uniforme con crecimiento lineal.

Demostración

La aplicación lineal f(x)=kx en R es Lipschitz con L=|k|. La función seno es Lipschitz en R con L=1 porque |sin x - sin y| ≤ |x-y|. En cambio f(x)=√x en [0,1] no es Lipschitz en 0.

Aplicación incorrecta

Suponer que la continuidad de Lipschitz implica diferenciabilidad; si una derivada está acotada entonces implica Lipschitz, pero una función Lipschitz no tiene por qué ser diferenciable en todos los puntos (en dimensión finita es diferenciable casi en todas partes pero puede fallar en muchos puntos).

Consecuencia

La continuidad de Lipschitz implica continuidad uniforme; proporciona resultados de estabilidad como unicidad y dependencia continua en problemas iniciales de EDO (Picard–Lindelöf). También limita la oscilación y controla el módulo de continuidad de forma lineal.

Inversión

Una función uniformemente continua pero no Lipschitz puede presentar incrementos que no se puedan acotar linealmente por una sola constante, p. ej. Hölder con exponente α<1; la inversión de la desigualdad muestra la imposibilidad de dicha cota lineal única.

Límite

Se formula en espacios métricos o normados; para aplicaciones vectoriales se usan normas de operadores. La condición es global: la Lipschitzidad local es más débil y relevante en muchos contextos.

Tensión semántica

Tensión con la diferenciabilidad (derivada acotada ⇒ Lipschitz, no recíproco) y con la continuidad Hölder (Lipschitz es el caso α=1 de Hölder): las nociones están relacionadas pero ordenadas estrictamente por su fuerza.

Síntesis

La continuidad de Lipschitz impone una cota lineal y uniforme sobre la variación de la salida en función de la distancia de la entrada; es una hipótesis práctica y fuerte para obtener estabilidad y unicidad en problemas analíticos.