Version globale de la continuité : une fonction f sur un domaine D est uniformément continue si pour tout ε>0 il existe un δ>0 unique tel que pour tous x,y∈D, d(x,y)<δ implique d(f(x),f(y))<ε. L'essentiel est que δ dépend seulement de ε et non du point.

Principe

Une même tolérance sur l'entrée contrôle les sorties uniformément sur tout le domaine ; la même taille de voisinage suffit partout pour garantir la tolérance en sortie prescrite.

Démonstration

La fonction f(x)=x sur R est uniformément continue car |x-y|<δ ⇒ |f(x)-f(y)|=|x-y|<ε en prenant δ=ε. En revanche f(x)=x^2 sur R est continue mais pas uniformément continue : vers l'infini de très petits changements d'entrée peuvent produire de grandes variations de sortie.

Mauvaise application

Supposer que toute fonction continue sur un domaine quelconque est uniformément continue ; négliger la géométrie du domaine (par exemple la continuité sur un compact implique uniformité, mais pas sur un domaine non borné).

Conséquence

Une fonction uniformément continue envoie suites de Cauchy sur des suites de Cauchy et est stable par limites uniformes ; sur un domaine complet une fonction uniformément continue s'étend de manière unique et continue à l'adhérence si le codomaine est complet.

Inversion

La continuité ponctuelle (non uniforme) permet que le δ nécessaire diminue selon le point ; l'inverse met en évidence des fonctions pour lesquelles aucun δ unique ne convient pour tous les points, même si chaque point a son δ(ε,x).

Limite

Dépend de la structure globale du domaine et d'une métrique ou d'une structure uniforme ; la continuité uniforme est une propriété globale et se définit aussi dans des espaces uniformes. Les versions locales sont plus faibles.

Tension sémantique

Souvent opposée à la continuité de Lipschitz : Lipschitz est plus forte (contrôle linéaire) alors que la continuité uniforme n'exige qu'un δ(ε) uniforme ; on la confond aussi parfois avec la continuité sur ensembles compacts où elles coïncident.

Synthèse

La continuité uniforme renforce la continuité ponctuelle en demandant un δ unique pour chaque ε qui fonctionne sur tout le domaine ; elle caractérise une régularité globale qui garantit la conservation du comportement de Cauchy et l'extensibilité.