Globale Version der Stetigkeit: Eine Funktion f auf einem Gebiet D heißt gleichmäßig stetig, wenn für jedes ε>0 ein einziges δ>0 existiert, so dass für alle x,y∈D gilt: d(x,y)<δ ⇒ d(f(x),f(y))<ε. Entscheidend ist, dass δ nur von ε abhängt, nicht vom Ort.

Prinzip

Eine einzige Toleranz für die Eingabe steuert die Ausgabe gleichmäßig über den gesamten Definitionsbereich; dieselbe Nachbarschaftsgröße genügt überall, um die vorgegebene Ausgabetoleranz sicherzustellen.

Demonstration

Die Abbildung f(x)=x auf R ist gleichmäßig stetig, denn |x-y|<δ ⇒ |f(x)-f(y)|=|x-y|<ε mit δ=ε. Dagegen ist f(x)=x^2 auf R zwar stetig, aber nicht gleichmäßig stetig: in der Nähe von ∞ können beliebig kleine Eingabeschritte große Ausgabeschritte erfordern.

Fehlanwendung

Zu glauben, jede stetige Funktion auf beliebigen Bereichen sei gleichmäßig stetig; die Geometrie des Definitionsbereichs darf nicht vernachlässigt werden (Stetigkeit auf kompakten Mengen impliziert gleichmäßige Stetigkeit, auf unbeschränkten Mengen im Allgemeinen nicht).

Konsequenz

Gleichmäßig stetige Funktionen bilden Cauchy-Folgen auf Cauchy-Folgen ab und sind unter gleichmäßigen Grenzen stabil; auf vollständigen Räumen lässt sich eine gleichmäßig stetige Funktion eindeutig und stetig auf den Abschluss fortsetzen, falls der Zielraum vollständig ist.

Umkehrung

Punktweise (nicht gleichmäßige) Stetigkeit erlaubt, dass das nötige δ mit dem Punkt schrumpft; die Umkehrung betont Funktionen, für die kein einziges δ für alle Punkte existiert, obwohl jeder Punkt sein eigenes δ(ε,x) hat.

Abgrenzung

Hängt von der globalen Struktur des Definitionsbereichs und einer Metrik oder Uniformstruktur ab; gleichmäßige Stetigkeit ist eine globale Eigenschaft und kann auch in Uniformräumen formuliert werden. Lokale Varianten sind schwächer.

Semantische Spannung

Oft gegenüber Lipschitz-Stetigkeit gestellt: Lipschitz ist stärker (lineare Schranke), während gleichmäßige Stetigkeit nur ein einheitliches δ(ε) fordert; außerdem wird sie mit Stetigkeit auf kompakten Mengen verwechselt, wo sie allerdings gleichbedeutend ist.

Synthese

Gleichmäßige Stetigkeit verlangt ein δ, das für jedes ε überall gilt; sie ist die globale Verstärkung der punktuellen Stetigkeit, charakterisiert eine konsistente Regularität und sichert etwa die Erhaltung von Cauchy-Eigenschaften und Fortsetzbarkeit.