Versión global de la continuidad: una función f en un dominio D es uniformemente continua si para todo ε>0 existe un único δ>0 tal que para todos x,y∈D, d(x,y)<δ implica d(f(x),f(y))<ε. Lo esencial es que δ depende solo de ε y no del punto.

Principio

Una única tolerancia de entrada controla las salidas de forma uniforme en todo el dominio; el mismo tamaño de vecindario basta en cualquier punto para garantizar la tolerancia prescrita en salida.

Demostración

La función f(x)=x en R es uniformemente continua porque |x-y|<δ ⇒ |f(x)-f(y)|=|x-y|<ε con δ=ε. En cambio f(x)=x^2 en R es continua pero no uniformemente continua: hacia el infinito pequeños cambios de entrada pueden producir grandes cambios de salida.

Aplicación incorrecta

Suponer que toda función continua en cualquier dominio es uniformemente continua; pasar por alto la geometría del dominio (por ejemplo, la continuidad en un conjunto compacto implica continuidad uniforme, pero no en dominios no acotados).

Consecuencia

Las funciones uniformemente continuas llevan sucesiones de Cauchy a sucesiones de Cauchy y son estables por límites uniformes; en dominios completos una función uniformemente continua se extiende de forma única y continua al cierre si el codominio es completo.

Inversión

La continuidad puntual (no uniforme) permite que el δ necesario disminuya con el punto; la inversión subraya funciones para las que no existe un δ único que funcione en todos los puntos, aunque cada punto tenga su δ(ε,x).

Límite

Depende de la estructura global del dominio y de una métrica o estructura uniforme; la continuidad uniforme es una propiedad global y también puede definirse en espacios uniformes. Las versiones locales son más débiles.

Tensión semántica

Se contrapone con frecuencia a la continuidad de Lipschitz: Lipschitz es más fuerte (control lineal) mientras que la continuidad uniforme solo exige un δ(ε) uniforme; también se confunde con la continuidad en conjuntos compactos, donde coinciden.

Síntesis

La continuidad uniforme exige un δ único para cada ε válido en todo el dominio; caracteriza una regularidad global que garantiza la conservación de la naturaleza de Cauchy de las sucesiones y la posibilidad de extensión continua.