Propriété d'une fonction en un point (ou sur un ensemble) selon laquelle des variations arbitrairement petites de l'entrée entraînent des variations arbitrairement petites de la sortie ; formellement, dans un contexte métrique : pour tout point x0 et tout ε>0 il existe δ>0 tel que d(x,x0)<δ implique d(f(x),f(x0))<ε.

Principe

Contrôle local des sorties par les entrées : près de chaque point, la variation de la fonction peut être bornée en choisissant un voisinage suffisamment petit déterminé par le point et la tolérance en sortie souhaitée.

Démonstration

La fonction sinus sur R est continue en tout point : pour tout x0 et tout ε>0 on peut trouver δ dépendant de x0 et ε tel que |sin x - sin x0|<ε dès que |x-x0|<δ. La fonction échelon de Heaviside est discontinue en 0.

Mauvaise application

Prendre la continuité pour une garantie d'un contrôle uniforme de la variation sur l'ensemble du domaine (confondre continuité ponctuelle et continuité uniforme), ou supposer qu'une fonction continue est bornée sur un domaine non compact.

Conséquence

Les fonctions continues préservent les limites et la connexité, et sur des domaines compacts elles sont bornées et atteignent des maximums et minimums. La continuité est stable par somme, produit et composition.

Inversion

Une fonction discontinue admet au moins un point où des modifications arbitrairement petites de l'entrée entraînent un saut ou une variation non nulle de la sortie ; la discontinuité est la négation de la propriété locale ε–δ.

Limite

Nécessite une structure topologique ou métrique pour comparer les « petites » variations ; les énoncés sur la continuité doivent préciser domaine et codomaine. La notion ici exclut, sauf mention, les formulations faibles comme la continuité presque partout.

Tension sémantique

Souvent confondue avec la continuité uniforme et avec la différentiabilité : la continuité est strictement plus faible que ces notions, et l'utilisation du même terme pour les variantes ponctuelle et globale crée de l'ambiguïté sans précision.

Synthèse

La continuité est la condition locale ε–δ qui garantit que la sortie varie arbitrairement peu quand on restreint l'entrée à un voisinage du point ; c'est la base sur laquelle s'édifient des propriétés plus fortes de régularité ou globales.