Eigenschaft einer Funktion an einem Punkt (oder auf einer Menge), dass beliebig kleine Änderungen der Eingabe zu beliebig kleinen Änderungen der Ausgabe führen; formell in metrischen Räumen: für jeden Punkt x0 und jedes ε>0 existiert δ>0 mit d(x,x0)<δ ⇒ d(f(x),f(x0))<ε.

Prinzip

Lokale Steuerung der Ausgabe durch die Eingabe: In einer hinreichend kleinen Umgebung eines Punktes lässt sich die Variation der Funktion durch Wahl eines passenden δ(ε,x0) begrenzen.

Demonstration

Die Sinusfunktion ist auf R überall stetig: zu jedem x0 und ε>0 gibt es ein δ, sodass |sin x - sin x0|<ε für |x-x0|<δ gilt. Die Heaviside-Stufenfunktion ist in 0 unstetig.

Fehlanwendung

Kontinuität als Garantie für gleichmäßige Schranken über den ganzen Definitionsbereich zu verstehen (Verwechslung mit gleichmäßiger Stetigkeit) oder anzunehmen, dass Stetigkeit auf nichtkompakten Mengen Beschränktheit impliziert.

Konsequenz

Stetige Funktionen erhalten Grenzwerte und Zusammenhang, und auf kompakten Mengen sind sie beschränkt und erreichen Extrema. Stetigkeit ist unter Addition, Multiplikation und Verkettung erhalten.

Umkehrung

Eine unstetige Funktion besitzt mindestens einen Punkt, an dem beliebig kleine Eingabeveränderungen einen Sprung oder sonstige nicht verschwindende Ausgabeveränderung bewirken; Unstetigkeit ist die Verneinung der lokalen ε–δ-Eigenschaft.

Abgrenzung

Benötigt eine topologische oder metrische Struktur, um »klein« zu definieren; Aussagen über Stetigkeit müssen Definitions- und Zielraum spezifizieren. Hier wird die schwächere Sichtweise wie »Stetig fast überall« nicht ohne Zusatz eingeschlossen.

Semantische Spannung

Wird oft mit gleichmäßiger Stetigkeit oder Differenzierbarkeit verwechselt: Stetigkeit ist eine schwächere Bedingung, und die Verwendung des gleichen Begriffs für punktuelle und globale Varianten führt ohne Präzisierung zu Missverständnissen.

Synthese

Stetigkeit ist die lokale ε–δ-Bedingung, die sicherstellt, dass Ausgaben bei ausreichend kleinen Änderungen der Eingaben beliebig klein bleiben; sie bildet die Grundlage für stärkere Regularitäts- oder globale Eigenschaften.