Propiedad de una función en un punto (o en un conjunto) según la cual cambios arbitrariamente pequeños en la entrada producen cambios arbitrariamente pequeños en la salida; formalmente, en un contexto métrico: para cada punto x0 y cada ε>0 existe δ>0 tal que d(x,x0)<δ implica d(f(x),f(x0))<ε.

Principio

Control local de las salidas por las entradas: cerca de cada punto la variación de la función puede acotarse eligiendo un vecindario suficientemente pequeño determinado por el punto y la tolerancia deseada en la salida.

Demostración

La función seno en R es continua en todos los puntos: para cualquier x0 y ε>0 existe δ (que depende de x0 y ε) tal que |sin x - sin x0|<ε si |x-x0|<δ. La función escalón de Heaviside es discontinua en 0.

Aplicación incorrecta

Tratar la continuidad como si garantizara un control uniforme de la variación en todo el dominio (confundir continuidad puntual con continuidad uniforme) o suponer que continuidad implica acotación en dominios no compactos.

Consecuencia

Las funciones continuas conservan límites y conexidad, y en dominios compactos son acotadas y alcanzan máximos y mínimos. La continuidad se conserva por suma, producto y composición.

Inversión

Una función discontinua tiene al menos un punto donde cambios arbitrariamente pequeños de la entrada producen un salto u otro cambio no nulo en la salida; la discontinuidad es la negación de la condición local ε–δ.

Límite

Requiere una estructura topológica o métrica para comparar «pequeñas» variaciones; las afirmaciones sobre continuidad deben especificar dominio y codominio. La noción aquí excluye, salvo indicación, formulaciones débiles como continuidad casi en todas partes.

Tensión semántica

A menudo se confunde con continuidad uniforme y con diferenciabilidad: la continuidad es estrictamente más débil que esas nociones, y usar la misma palabra para variantes puntuales y globales genera ambigüedad sin aclaración.

Síntesis

La continuidad es la condición local ε–δ que garantiza que la salida varíe arbitrariamente poco al restringir la entrada a un vecindario del punto; es la base sobre la que se construyen propiedades de regularidad más fuertes.