Un foncteur F: C^{op}→Set (ou C→Set, selon la variance) est représentable s'il existe un objet R de C et une isomorphie naturelle F ≅ Hom_C(-,R) (ou Hom_C(R,-)), ce qui signifie que F provient des ensembles de morphismes sortant de ou entrant dans un objet représentant unique.

Principe

L'idée organisatrice est qu'un foncteur est réalisé par une sonde universelle : la représentabilité signifie que le foncteur est (co)représenté par un objet qui paramètre ses valeurs via des bijections naturelles, transformant des données fonctorielles en morphismes concrets vers ou depuis l'objet représentant.

Démonstration

Le foncteur qui assigne à tout espace topologique X l'ensemble des applications continues X→S^1 est représentable si et seulement si S^1 est l'objet représentant dans la catégorie d'homotopie ; en algèbre, Hom_R(-,R) représente le foncteur des applications R-linéaires dans R, montrant une représentabilité concrète.

Mauvaise application

Qualifier un foncteur de représentable sur la base de bijections point par point sans établir la naturalité : l'isomorphisme naturel en universels est essentiel — des coïncidences pointuelles qui ne commutent pas avec les morphismes ne constituent pas la représentabilité.

Conséquence

Lorsqu'un foncteur est représentable, on obtient un élément universel, des calculs à la Yoneda, et l'accès à des propriétés universelles, permettant la classification, les corépresentations et des constructions concrètes telles que limites et adjoints en termes d'objet représentant.

Inversion

L'inverse est un foncteur non représentable : de nombreux foncteurs importants ne peuvent pas être captés par un seul objet et nécessitent des pro-représentations, des faisceaux ou des constructions catégoriques plus larges pour encoder leur comportement.

Limite

La représentabilité requiert une catégorie localement petite et une isomorphie naturelle avec un foncteur Hom ; elle exclut les foncteurs dont le comportement ne peut être encodé par un unique objet ou qui manquent de naturalité ou de conditions de taille requises.

Tension sémantique

La représentabilité est voisine de la notion de propriété universelle et d'adjonction : la tension porte sur le fait de considérer une construction comme donnée par un objet représentant (concret) ou par une propriété universelle ou un adjoint (structurel), qui peuvent être équivalents mais conceptuellement distincts.

Synthèse

Un foncteur représentable est celui qui provient des ensembles de morphismes associés à un objet unique via une isomorphie naturelle ; cela rend l'information fonctorielle abstraite concrète en identifiant les valeurs avec des morphismes vers ou depuis un objet représentant.