Un funtor F: C^{op}→Set (o C→Set, según la varianza) es representable si existe un objeto R en C y una isomorfía natural F ≅ Hom_C(-,R) (o Hom_C(R,-)), lo que significa que F proviene de los conjuntos Hom desde o hacia un único objeto representador.

Principio

La idea organizadora es que un funtor se realiza mediante una sonda universal: la representabilidad significa que el funtor está (co)representado por un objeto que parametriza sus valores mediante biyecciones naturales, convirtiendo datos functoriales en morfismos concretos hacia o desde el objeto representador.

Demostración

El funtor que asigna a cada espacio topológico X el conjunto de aplicaciones continuas X→S^1 es representable si y sólo si S^1 es el objeto representador en la categoría de homotopía; en álgebra, Hom_R(-,R) representa el funtor de aplicaciones R-lineales hacia R, mostrando representabilidad concreta.

Aplicación incorrecta

Etiquetar un funtor como representable basándose en biyecciones puntuales sin establecer la naturalidad: la isomorfía natural entre objetos es esencial: coincidencias puntuales que no conmutan con morfismos no constituyen representabilidad.

Consecuencia

Cuando un funtor es representable se obtiene un elemento universal, cálculos al estilo Yoneda y acceso a propiedades universales, lo que permite clasificación, correpresentaciones y construcciones concretas como límites y adjuntos en términos del objeto representador.

Inversión

La inversión es un funtor no representable: muchos funtores importantes no pueden capturarse por un único objeto y requieren pro-representaciones, haces o construcciones categóricas más amplias para codificar su comportamiento.

Límite

La representabilidad exige una categoría localmente pequeña y una isomorfía natural con un funtor Hom; excluye funtores cuyo comportamiento no pueda codificarse por un único objeto o que carezcan de la naturalidad o condiciones de tamaño requeridas.

Tensión semántica

La representabilidad está adyacente a la noción de propiedad universal y de adjunción: la tensión reside en si ver una construcción como dada por un objeto representador (concreto) o por una propiedad universal o adjunto (estructural), lo que puede ser equivalente pero conceptualmente distinto.

Síntesis

Un funtor representable es el que proviene de los conjuntos Hom asociados a un único objeto mediante una isomorfía natural; esto hace concreta la información functorial abstracta al identificar valores con morfismos hacia o desde un objeto representador.