Ein Funktor F: C^{op}→Set (oder C→Set, je nach Varianz) heißt repräsentierbar, wenn ein Objekt R in C existiert und eine natürliche Isomorphie F ≅ Hom_C(-,R) (oder Hom_C(R,-)) besteht; das heißt, F entsteht aus Hom-Mengen zu oder von einem einzelnen repräsentierenden Objekt.

Prinzip

Die ordnende Idee ist, dass ein Funktor durch eine universelle Sonde realisiert wird: Repräsentierbarkeit bedeutet, dass der Funktor (ko-)repräsentiert ist durch ein Objekt, das seine Werte mittels natürlicher Bijektionen parametrisiert und so funktorielle Daten in konkrete Morphismen verwandelt.

Demonstration

Der Funktor, der jedem topologischen Raum X die Menge der stetigen Abbildungen X→S^1 zuordnet, ist in der Homotopie-Kategorie genau dann repräsentierbar, wenn S^1 das repräsentierende Objekt ist; in der Algebra repräsentiert Hom_R(-,R) den Funktor der R-linearen Abbildungen nach R und zeigt damit konkrete Repräsentierbarkeit.

Fehlanwendung

Einen Funktor als repräsentierbar zu bezeichnen aufgrund punktweiser Bijektionen ohne Nachweis der Natürlichkeit: eine natürliche Isomorphie über die Objekte ist essenziell — punktweise Übereinstimmungen, die nicht mit Morphismen verträglich sind, begründen keine Repräsentierbarkeit.

Konsequenz

Ist ein Funktor repräsentierbar, so verfügt man über ein universelles Element, Yoneda-artige Rechnungen und Zugriff auf universelle Eigenschaften, was Klassifikation, Korrepräsentationen und konkrete Konstruktionen wie Limiten und Adjunkte in Begriffen des repräsentierenden Objekts ermöglicht.

Umkehrung

Die Umkehr ist ein nicht-repräsentierbarer Funktor: Viele wichtige Funktoren lassen sich nicht durch ein einzelnes Objekt erfassen und erfordern Pro-Repräsentationen, Garben oder größere kategoriale Konstruktionen zur Kodierung ihres Verhaltens.

Abgrenzung

Repräsentierbarkeit setzt eine lokal kleine Kategorie und eine natürliche Isomorphie mit einem Hom-Funktor voraus; ausgeschlossen sind Funktoren, deren Verhalten nicht durch ein einzelnes Objekt kodierbar ist oder denen die nötige Natürlichkeit bzw. Größenbedingungen fehlen.

Semantische Spannung

Repräsentierbarkeit steht nahe an universellen Eigenschaften und Adjunktionen: die Spannung besteht darin, ob man eine Konstruktion durch ein repräsentierendes Objekt (konkret) oder durch eine universelle Abbildungs-Eigenschaft bzw. ein Adjunkt (strukturell) auffassen soll, was zwar äquivalent sein kann, aber konzeptionell unterscheidet.

Synthese

Ein repräsentierbarer Funktor ist einer, der aus Hom-Mengen eines einzigen Objekts durch eine natürliche Isomorphie entsteht; so wird abstrakte funktorielle Information konkret, indem Werte mit Morphismen zu oder von einem repräsentierenden Objekt identifiziert werden.