Une famille de morphismes entre deux foncteurs F et G ayant la même catégorie source C et la même catégorie cible D : pour chaque objet X de C une composante η_X : F(X) → G(X) telle que pour tout morphisme f:X→Y le carré G(f) ∘ η_X = η_Y ∘ F(f) (la condition de naturalité) commute.

Principe

La naturalité exige la cohérence : les applications composantes doivent entrelacer les actions des foncteurs sur les morphismes, faisant de la famille une transformation canonique de foncteurs plutôt qu'une collection arbitraire de morphismes au point.

Démonstration

Considérer l'application canonique η_V : V → V** pour les espaces vectoriels de dimension finie V sur un corps k, où V** est le double dual. La famille {η_V} est une transformation naturelle du foncteur identité sur Vect_k^fin vers le foncteur double dual parce que la dualisation commute aux applications linéaires et les carrés de naturalité commutent.

Mauvaise application

Prétendre qu'une collection de morphismes au point est une transformation naturelle sans vérifier la commutation des carrés de naturalité, ou supposer que toute isomorphie composante par composante engendre une isomorphie naturelle entre foncteurs.

Conséquence

Valide, une transformation naturelle fournit une façon canonique de comparer des foncteurs, donne les morphismes nécessaires pour définir adjoints, limites, colimites et structures 2-catégoriques, et identifie quand deux foncteurs sont isomorphes dans la catégorie des foncteurs.

Inversion

Une isomorphie naturelle est l'inversion : une transformation naturelle dont chaque composante est un isomorphisme, ce qui exhibe les deux foncteurs comme identiques à un isomorphisme cohérent ; l'absence de naturalité ramène la famille à de simples morphismes au point.

Limite

Exige que les deux foncteurs aient la même source et la même cible et des composantes définies pour chaque objet ; les familles définies seulement sur une sous-classe d'objets ou entre foncteurs de cibles différentes ne sont pas des transformations naturelles au sens strict.

Tension sémantique

Se distingue d'une simple « famille de morphismes » par l'exigence de naturalité ; se distingue aussi d'une isomorphie pointuelle car la naturalité impose une compatibilité avec tous les morphismes de la catégorie source.

Synthèse

Une transformation naturelle est une famille cohérente de morphismes composants entre deux foncteurs, vérifiant les carrés de naturalité qui rendent la comparaison canonique et fonctorielle sur l'ensemble de la catégorie source.