Eine Familie von Morphismen zwischen zwei Funktoren F und G mit derselben Quellkategorie C und Zielkategorie D: für jedes Objekt X von C eine Komponente η_X : F(X) → G(X), so dass für jeden Morphismus f:X→Y das Quadrat G(f) ∘ η_X = η_Y ∘ F(f) (die Natürlichkeitsbedingung) kommutiert.

Prinzip

Natürlichkeit verlangt Kohärenz: die Komponenten müssen die Wirkungen der Funktoren auf Morphismen verzahnen, sodass die Familie eine kanonische Transformation von Funktoren ist und nicht nur eine beliebige Sammlung von punktweisen Abbildungen.

Demonstration

Betrachte die kanonische Abbildung η_V : V → V** für endlichdimensionale Vektorräume V über einem Körper k, wobei V** der Doppelduale ist. Die Familie {η_V} ist eine natürliche Transformation vom Identitätsfunktor auf Vect_k^fd zum Doppeldualfunktor, weil Dualisierung mit linearen Abbildungen verträglich ist und die Natürlichkeitsquadrate kommutieren.

Fehlanwendung

Eine punktweise definierte Sammlung von Abbildungen als natürliche Transformation deklarieren, ohne die Kommutativität der Natürlichkeitsquadrate zu prüfen, oder anzunehmen, jede punktweise Isomorphie liefere eine natürliche Isomorphie der Funktoren.

Konsequenz

Ist eine natürliche Transformation gültig, liefert sie einen kanonischen Vergleich der Funktoren, ermöglicht Definitionen von Adjunkten, Limiten, Kolimiten und 2-kategorialen Strukturen und kennzeichnet Isomorphie von Funktoren in der Funktorkategorie.

Umkehrung

Eine natürliche Isomorphie ist die Umkehrung: eine natürliche Transformation, deren Komponenten alle Isomorphismen sind, wodurch die beiden Funktoren bis auf kohärente Isomorphie gleichgestellt werden; fehlt die Natürlichkeit, bleibt die Familie rein punktweise.

Abgrenzung

Setzt voraus, dass beide Funktoren dieselbe Quelle und dasselbe Ziel haben und Komponenten für jedes Objekt definiert sind; auf Teilmengen von Objekten definierte Familien oder Transformationen zwischen Funktoren mit unterschiedlichen Zielen sind im strengen Sinn keine natürlichen Transformationen.

Semantische Spannung

Unterscheidet sich von einer beliebigen 'Familie von Morphismen' durch die Natürlichkeitsanforderung; ebenso verschieden von punktweisen Isomorphismen, da Natürlichkeit Kompatibilität mit allen Morphismen der Quellkategorie erzwingt.

Synthese

Eine natürliche Transformation ist eine kohärente Familie von Komponentenmorphismen zwischen zwei Funktoren, die die Natürlichkeitsquadrate erfüllt und so einen kanonischen, funktoriellen Vergleich über die ganze Quellkategorie erlaubt.