Una familia de morfismos entre dos funtores F y G con la misma categoría fuente C y la misma categoría destino D: para cada objeto X de C una componente η_X : F(X) → G(X) tal que para todo morfismo f:X→Y el cuadrado G(f) ∘ η_X = η_Y ∘ F(f) (la condición de naturalidad) conmuta.

Principio

La naturalidad exige coherencia: las aplicaciones componentes deben entrelazar las acciones de los funtores sobre morfismos, haciendo que la familia sea una transformación canónica de funtores y no una colección arbitraria de mapas por puntos.

Demostración

Considere la aplicación canónica η_V:V → V** para espacios vectoriales de dimensión finita V sobre un campo k, donde V** es el doble dual. La familia {η_V} es una transformación natural del funtor identidad en Vect_k^fin al funtor doble dual porque la dualización conmuta con las transformaciones lineales y los cuadrados de naturalidad conmutan.

Aplicación incorrecta

Declarar una colección de mapas por puntos como una transformación natural sin comprobar la conmutatividad de los cuadrados de naturalidad, o asumir que cualquier isomorfismo componente a componente produce una isomorfía natural entre funtores.

Consecuencia

Si es válida, una transformación natural proporciona una manera canónica de comparar funtores, aporta los morfismos necesarios para definir adjuntos, límites, colímites y estructuras 2-categóricas e identifica cuándo dos funtores son isomorfos en la categoría de funtores.

Inversión

Una isomorfía natural es la inversión: una transformación natural cuyas componentes son todas isomorfismos, lo que exhibe a los dos funtores como iguales hasta isomorfía coherente; la ausencia de naturalidad deja la familia como mapas puramente puntuales.

Límite

Requiere que ambos funtores compartan la misma fuente y destino y que haya componentes definidas en cada objeto; las familias definidas solo en una subclase de objetos o entre funtores con distintos destinos no son transformaciones naturales en sentido estricto.

Tensión semántica

Se diferencia de una 'familia de morfismos' arbitraria por la exigencia de naturalidad; también difiere de un isomorfismo puntual ya que la naturalidad impone compatibilidad con todos los morfismos en la categoría fuente.

Síntesis

Una transformación natural es una familia coherente de morfismos componentes entre dos funtores que satisface los cuadrados de naturalidad, haciendo la comparación canónica y fonctorial a lo largo de toda la categoría fuente.