Un mapping entre catégories qui assigne à chaque objet d'une catégorie source un objet d'une catégorie cible et à chaque morphisme de la source un morphisme de la cible, en préservant les morphismes identiques et la composition.

Principe

La fonctorialité impose deux lois de conservation : les identités sont envoyées sur des identités, et la composition est respectée (F(g ∘ f) = F(g) ∘ F(f)) ; ces lois font des foncteurs les applications préservant la structure en théorie des catégories.

Démonstration

La construction du groupe abélien libre F : Set → Ab qui envoie un ensemble S sur le groupe abélien libre Z[S] et une fonction f : S → T sur l'homomorphisme Z[f] : Z[S] → Z[T] donné par extension linéaire est un foncteur : il préserve identités et compositions par construction.

Mauvaise application

Définir une assignation sur les objets sans fournir de règle pour les morphismes qui respecte la composition, ou prétendre qu'une application entre collections d'objets est un foncteur alors qu'elle ne prend pas les flèches de façon compatible.

Conséquence

Employé correctement, un foncteur transporte des structures et des propriétés universelles entre catégories, permet de comparer des invariants catégoriques et porte des constructions comme les limites, adjoints et foncteurs dérivés.

Inversion

Un foncteur contravariant inverse la direction des flèches : il assigne à chaque morphisme f : X → Y un morphisme F(f) : F(Y) → F(X) et vérifie F(g ∘ f) = F(f) ∘ F(g), en contraste avec les foncteurs covariants qui préservent la direction.

Limite

S'applique aux foncteurs entre catégories (avec objets et hom-ensembles/collections bien définis) ; les pseudofoncteurs, profoncteurs ou simples applications au niveau des objets sont hors de la notion stricte de foncteur sauf si des données de cohérence supplémentaires sont fournies.

Tension sémantique

Souvent confondu avec une fonction ordinaire entre ensembles : un foncteur doit agir sur les objets et sur les morphismes et préserver la composition et les identités, exigence plus forte qu'une simple application d'objets.

Synthèse

Un foncteur est une application qui préserve la structure entre catégories en assignant objets et morphismes de manière cohérente, garantissant la préservation des identités et des compositions et permettant le transfert de constructions catégoriques.