Una asignación entre categorías que asigna a cada objeto de una categoría fuente un objeto de una categoría objetivo y a cada morfismo de la fuente un morfismo en la objetivo, preservando los morfismos identidad y la composición.

Principio

La fonctorialidad exige dos leyes de preservación: las identidades se envían a identidades y se respeta la composición (F(g ∘ f) = F(g) ∘ F(f)); estas leyes convierten a los funtores en las aplicaciones que preservan estructura en teoría de categorías.

Demostración

La construcción del grupo abeliano libre F:Set→Ab que envía un conjunto S al grupo abeliano libre Z[S] y una función f:S→T al homomorfismo Z[f]:Z[S]→Z[T] dado por extensión lineal es un funtor: preserva identidades y composición por construcción.

Aplicación incorrecta

Definir una asignación solo sobre objetos sin dar una regla para los morfismos que respete la composición, o afirmar que una función entre colecciones de objetos es un funtor cuando no toma las flechas de forma compatible.

Consecuencia

Bien usado, un funtor transporta estructuras y propiedades universales entre categorías, permite comparar invariantes categóricos y soporta construcciones como límites, adjuntos y funtores derivados.

Inversión

Un funtor contravariante invierte la dirección de las flechas: asigna a cada morfismo f:X→Y un morfismo F(f):F(Y)→F(X) y cumple F(g ∘ f) = F(f) ∘ F(g), en contraste con los funtores covariantes que preservan la dirección.

Límite

Se aplica a funtores entre categorías con objetos y Hom-conjuntos/colecciones bien definidos; pseudofuntores, profuntores o simples mapas a nivel de objetos quedan fuera de la noción estricta salvo que se aporte coherencia adicional.

Tensión semántica

Frecuentemente confundido con una función ordinaria entre conjuntos: un funtor debe actuar sobre objetos y morfismos y preservar composición e identidades, requisito más fuerte que una mera asignación de objetos.

Síntesis

Un funtor es una aplicación que preserva estructura entre categorías asignando objetos y morfismos de forma coherente, asegurando la conservación de identidades y composiciones y permitiendo transferir construcciones categóricas.