Eine Abbildung zwischen Kategorien, die jedem Objekt der Quellkategorie ein Objekt der Zielkategorie und jedem Morphismus der Quelle einen Morphismus im Ziel zuordnet, wobei Identitätsmorphismen und Komposition erhalten bleiben.

Prinzip

Funktionalität verlangt zwei Erhaltungsgesetze: Identitäten werden auf Identitäten abgebildet, und Komposition wird respektiert (F(g ∘ f) = F(g) ∘ F(f)); diese Gesetze machen Funktoren zu struktur­erhaltenden Abbildungen der Kategorientheorie.

Demonstration

Die Konstruktion des freien abelschen Gruppen-Funktors F:Set→Ab, der eine Menge S der freien abelschen Gruppe Z[S] und eine Funktion f:S→T dem Gruppenhomomorphismus Z[f]:Z[S]→Z[T] durch lineare Fortsetzung zuordnet, ist ein Funktor: Identitäten und Komposition werden dadurch erhalten.

Fehlanwendung

Eine Zuordnung auf Objekte angeben, ohne eine zugehörige Vorschrift für Morphismen, die Komposition respektiert, oder zu behaupten, eine Abbildung zwischen Objektsammlungen sei ein Funktor, obwohl sie Pfeile nicht kompatibel abbildet.

Konsequenz

Korrekt eingesetzt transportieren Funktoren Strukturen und universelle Eigenschaften zwischen Kategorien, erlauben den Vergleich kategorialer Invarianten und sind Träger für Konstruktionen wie Limiten, Adjunkte und abgeleitete Funktoren.

Umkehrung

Ein kontravarianter Funktor kehrt die Pfeilrichtung um: er ordnet jedem Morphismus f:X→Y einen Morphismus F(f):F(Y)→F(X) zu und erfüllt F(g ∘ f) = F(f) ∘ F(g), im Gegensatz zu kovarianten Funktoren, die die Richtung bewahren.

Abgrenzung

Gilt für Funktoren zwischen Kategorien mit definierten Objekten und Hom-Sets/-Sammlungen; Pseudofunktoren, Profunktoren oder bloße Abbildungen auf Objektebene liegen außerhalb des strikten Funktorkonzepts, sofern nicht zusätzliche Kohärenzdaten gegeben sind.

Semantische Spannung

Oft mit gewöhnlichen Funktionen zwischen Mengen verwechselt: ein Funktor muss auf Objekte und Morphismen wirken und dabei Komposition und Identitäten erhalten, was strengere Anforderungen stellt als bloße Objektabbildungen.

Synthese

Ein Funktor ist eine struktur­erhaltende Abbildung zwischen Kategorien, die Objekte und Morphismen kohärent zuordnet und so die Bewahrung von Identitäten und Komposition sichert, wodurch kategoriale Konstruktionen übertragen werden können.