Une extension de corps K ⊂ L algébrique telle qu'au moins un élément de L a un polynôme minimal sur K ayant des racines multiples (équivalemment, le polynôme minimal et sa dérivée formelle ne sont pas premiers entre eux), de sorte que l'extension ne satisfait pas la condition de séparabilité.

Principe

Le comportement séparable exige des racines distinctes des polynômes minimaux ; l'inséparabilité apparaît en caractéristique positive lorsque les dérivées formelles s'annulent et que le critère des racines distinctes s'effondre, produisant des extensions purement inséparables ou mixtes.

Démonstration

Sur un corps K de caractéristique p > 0, l'extension K(t^{1/p}) obtenue en adjoint une racine p-ième d'un élément t qui n'a pas déjà cette racine dans K est inséparable : le polynôme minimal X^p - t a pour dérivée pX^{p-1}=0, donc sa racine est multiple dans tout corps de décomposition.

Mauvaise application

Considérer à tort que toute extension algébrique en caractéristique p est séparable ou appliquer sans vérification la correspondance de Galois ; utiliser des arguments fondés sur la séparabilité (par exemple, compter les automorphismes égal au degré) sans vérifier l'absence d'éléments inséparables.

Conséquence

Correctement identifiée, l'inséparabilité modifie la structure des groupes d'automorphismes, rend caduque la correspondance de Galois naïve et impose l'usage de la descente purement inséparable et des techniques liées à Frobenius (par exemple, réduire aux sous-extensions séparables ou passer à la clôture parfaite).

Inversion

Une extension séparable est le concept opposé : chaque polynôme minimal a des racines distinctes et la séparabilité rétablit les énoncés usuels de la théorie de Galois, comme l'égalité du degré et du nombre d'immersions dans une clôture algébrique.

Limite

S'applique uniquement aux extensions algébriques de corps ; les extensions transcendantes ne sont pas classées ici. Le phénomène concerne surtout la caractéristique positive ; en caractéristique zéro toute extension algébrique est séparable.

Tension sémantique

Étroitement lié mais distinct de la notion de polynôme inséparable : un polynôme est inséparable si sa dérivée s'annule, tandis qu'une extension est inséparable si elle contient au moins un élément dont le polynôme minimal est inséparable — l'un est une propriété du polynôme, l'autre du prolongement de corps.

Synthèse

Une extension inséparable est une extension algébrique, typique de la caractéristique positive, caractérisée par des polynômes minimaux à racines multiples ; sa reconnaissance oriente les méthodes vers Frobenius et les constructions purement inséparables plutôt que vers la théorie de Galois classique.