Una extensión algebraica de cuerpos K ⊂ L en la que al menos un elemento de L tiene un polinomio mínimo sobre K con raíces repetidas (equivalente a que el polinomio mínimo y su derivada formal no son coprimos), de modo que la extensión no cumple la condición de separabilidad.

Principio

El comportamiento separable exige raíces distintas en los polinomios mínimos; la inseparabilidad surge en característica positiva cuando las derivadas formales se anulan y el criterio de raíces distintas falla, produciendo extensiones puramente inseparables o mixtas.

Demostración

Sobre un cuerpo K de característica p > 0, la extensión K(t^{1/p}) obtenida al adjoinar una raíz p-ésima de un elemento t que no tiene ya esa raíz en K es inseparable: el polinomio mínimo X^p - t tiene derivada pX^{p-1}=0, por lo que su raíz es múltiple en cualquier cuerpo de descomposición.

Aplicación incorrecta

Tratar erróneamente toda extensión algebraica en característica p como separable o aplicar sin comprobación la correspondencia de Galois; usar argumentos basados en separabilidad (por ejemplo, contar automorfismos igual al grado) sin verificar la ausencia de elementos inseparables.

Consecuencia

Identificada correctamente, la inseparabilidad modifica la estructura de los grupos de automorfismos, invalida la correspondencia de Galois ingenua y obliga a usar técnicas de descenso puramente inseparable y métodos basados en Frobenius (por ejemplo, reducir a subextensiones separables o pasar a cierres perfectos).

Inversión

Una extensión separable es el concepto opuesto: cada polinomio mínimo tiene raíces distintas y la separabilidad restablece las afirmaciones habituales de la teoría de Galois, como la igualdad entre el grado y el número de incrustaciones en una clausura algebraica.

Límite

Se aplica solo a extensiones algebraicas de cuerpos; las extensiones trascendentes no se clasifican así. El fenómeno es relevante principalmente en característica positiva; en característica cero toda extensión algebraica es separable.

Tensión semántica

Relacionado pero distinto de la noción de polinomio inseparable: un polinomio es inseparable si su derivada se anula, mientras una extensión es inseparable si contiene un elemento cuyo polinomio mínimo es inseparable — uno es una propiedad del polinomio, el otro de la extensión.

Síntesis

Una extensión inseparable es una extensión algebraica, típica de característica positiva, caracterizada por polinomios mínimos con raíces múltiples; reconocerla reorienta los métodos hacia Frobenius y construcciones puramente inseparables en lugar de la teoría de Galois clásica.