Eine algebraische Körpererweiterung K ⊂ L, in der mindestens ein Element von L ein minimales Polynom über K mit mehrfachen Nullstellen besitzt (äquivalent: das minimale Polynom und seine formale Ableitung sind nicht teilerfremd), sodass die Erweiterung nicht separabel ist.

Prinzip

Separable Eigenschaften beruhen auf verschiedenen Nullstellen der minimalen Polynome; Untrennbarkeit tritt in positiver Charakteristik auf, wenn formale Ableitungen verschwinden und das Unterscheidungskriterium der Nullstellen zusammenbricht, was zu rein untrennbaren oder gemischten algebraischen Erweiterungen führt.

Demonstration

Über einem Körper K mit Charakteristik p > 0 ist die Erweiterung K(t^{1/p}), die durch Adjunktion einer p-ten Wurzel eines Elements t entsteht, das diese Wurzel nicht in K hat, untrennbar: Das minimale Polynom X^p - t hat die Ableitung pX^{p-1}=0, daher ist die Wurzel in jedem Zerfällungskörper mehrfach.

Fehlanwendung

Zu behaupten, jede algebraische Erweiterung in Charakteristik p sei separabel, oder Galois-Argumente ohne Prüfung der Separabilität anzuwenden; etwa fälschlich Anzahl der K-Automorphismen gleich Grad der Erweiterung anzunehmen.

Konsequenz

Bei korrekter Erkennung verändert Untrennbarkeit die Struktur der Automorphismengruppen, bricht die naive Galois-Korrespondenz und erfordert Techniken mit Frobenius-Operationen und rein untrennbarer Abstiegsverfahren (z. B. Betrachtung separabler Untererweiterungen oder perfekte Hüllen).

Umkehrung

Eine separable Erweiterung ist der Gegensatz: jedes minimale Polynom hat einfache Nullstellen, und die Separabilität stellt klassische Galois-Sätze wie die Übereinstimmung von Grad und Anzahl der K-Einbettungen wieder her.

Abgrenzung

Gilt nur für algebraische Körpererweiterungen; transzendente Erweiterungen werden in diesem Sinn nicht klassifiziert. Das Phänomen betrifft insbesondere positive Charakteristik; in Charakteristik Null sind alle algebraischen Erweiterungen separabel.

Semantische Spannung

Nahe, aber verschieden zum Begriff des untrennbaren Polynoms: Ein Polynom ist untrennbar, wenn seine Ableitung verschwindet, während eine Erweiterung untrennbar ist, wenn sie ein Element mit untrennbarem minimalen Polynom enthält — Polynom-Eigenschaft versus Erweiterungs-Eigenschaft.

Synthese

Eine untrennbare Erweiterung ist eine algebraische Körpererweiterung in positiver Charakteristik, gekennzeichnet durch minimale Polynome mit mehrfachen Nullstellen; ihre Existenz führt dazu, klassische Galoistechniken durch Frobenius- und rein untrennbare Methoden zu ersetzen.