Une forme bilinéaire B : V × V → F sur un espace vectoriel V sur un corps F qui possède un noyau non trivial : il existe v ≠ 0 dans V tel que B(v,w)=0 pour tout w dans V. Autrement dit, l'application linéaire V → V* donnée par v ↦ B(v,−) n'est pas injective.

Principe

La dégénérescence est l'échec de l'appareillage bilinéaire à induire un isomorphisme V ≅ V* ; elle se repère par l'existence de vecteurs isotropes (annihilateurs) et par le fait que la matrice représentant la forme a un rang strictement inférieur à dim V (déterminant nul si la matrice est carrée).

Démonstration

Sur F^2, pour (x,y) on définit B((x1,y1),(x2,y2)) = x1 x2. La matrice associée est [[1,0],[0,0]] donc (0,1) est non nul et B((0,1),w)=0 pour tout w : B est dégénérée.

Mauvaise application

Qualifier une forme de dégénérée parce qu'elle n'est pas symétrique, ou parce qu'elle est nulle sur certains couples de vecteurs, sans vérifier l'existence d'un vecteur non nul annihilant tous les arguments. Confondre dégénérescence et le fait d'avoir des valeurs nulles sur quelques paires seulement.

Conséquence

La présence d'un radical non trivial (ensemble des vecteurs qui annihilent tout) empêche d'inverser la forme pour identifier V à son dual, modifie la classification (par exemple la décomposition de Witt) et permet l'existence de sous-espaces isotropes ; des constructions canoniques (compléments orthogonaux, déterminant, signature) doivent être adaptées ou deviennent impossibles.

Inversion

Une forme bilinéaire non dégénérée a noyau trivial, induit un isomorphisme V → V* et sa matrice représentative est de rang maximal : aucun vecteur non nul n'annule tous les autres par la forme.

Limite

La définition suppose une forme bilinéaire sur un espace vectoriel (ou module libre) sur un corps ; sur des modules généraux, sur des anneaux sans duals, ou pour des formes sesquilinéaires/Hermitiennes la notion et les critères de dégénérescence diffèrent. En dimension infinie il faut distinguer dual algébrique et dual topologique.

Tension sémantique

Dégénérée versus matrice singulière sont liés mais distincts : « matrice singulière » dépend de la base choisie, tandis que « forme dégénérée » est invariante. D'autre part, être isotrope (B(v,v)=0) est une notion voisine mais en général plus faible que dégénérescence.

Synthèse

Une forme bilinéaire dégénérée est la donnée d'un appariement bilinéaire qui admet un vecteur non nul annihilant tous les autres ; algébriquement c'est l'échec d'injectivité du passage à l'espace dual, avec des conséquences directes sur l'inversibilité et la théorie orthogonale.