Eine bilineare Form B: V × V → F auf einem Vektorraum V über einem Körper F, deren Kern nicht-trivial ist: Es existiert v ≠ 0 in V mit B(v,w)=0 für alle w in V. Äquivalent ist die durch v ↦ B(v,−) gegebene lineare Abbildung V → V* nicht injektiv.

Prinzip

Entartung bedeutet, dass die bilineare Paarung keine Isomorphie V ≅ V* induziert; sie wird durch das Vorkommen isotroper (annihilierender) Vektoren angezeigt und dadurch, dass die darstellende Matrix Rang < dim V hat (bei quadratischer Matrix det=0).

Demonstration

Auf F^2 definiere B((x1,y1),(x2,y2)) = x1 x2. Die zugehörige Matrix ist [[1,0],[0,0]], daher ist (0,1) nicht null und B((0,1),w)=0 für alle w; B ist entartet.

Fehlanwendung

Eine Form als entartet zu bezeichnen, weil sie nicht symmetrisch ist oder weil sie auf einigen Paaren verschwindet, ohne zu prüfen, ob ein von Null verschiedener Vektor alle Argumente annihiliert. Entartung nicht mit bloßem Vorkommen von Nullwerten verwechseln.

Konsequenz

Das Vorhandensein eines nichttrivialen Radikals (Menge der Vektoren, die alles annihilieren) verhindert eine Identifikation von V mit seinem Dual, verändert Klassifikationen (z. B. Witt-Zerlegung) und erlaubt isotrope Unterräume; typische Konstruktionen (orthogonale Komplemente, Determinante, Signatur) sind anzupassen oder entfallen.

Umkehrung

Eine nichtentartete bilineare Form hat trivialen Kern, induziert einen Isomorphismus V → V* und ihre darstellende Matrix hat vollen Rang; kein von Null verschiedener Vektor paart zu Null mit allen Vektoren.

Abgrenzung

Die Aussage geht von einer bilinearen Form auf einem Vektorraum (oder freien Modul) über einem Körper aus; für allgemeine Moduln, Ringe ohne Dualräume oder für sesquilineare/Hermitesche Formen müssen Begriffsbestimmung und Kriterien geändert werden. In unendlichdimensionalen Kontexten ist zwischen algebraischem und topologischem Dual zu unterscheiden.

Semantische Spannung

Entartet vs. singulär (Matrix) sind eng verwandt, aber kontextabhängig: 'singuläre Matrix' bezieht sich auf eine spezielle Darstellung, 'entartete Form' ist basisinvariant. Isotropie (B(v,v)=0) ist eine nahestehende, meist schwächere Eigenschaft.

Synthese

Eine entartete bilineare Form ist genau eine Paarung, für die ein nichttrivialer Vektor alles annihiliert; algebraisch bedeutet das, dass die Abbildung zum Dual nicht injektiv ist, mit unmittelbaren Folgen für Invertierbarkeit und Orthogonalität.