Una forma bilineal B: V × V → F en un espacio vectorial V sobre un cuerpo F que tiene un núcleo no trivial: existe v ≠ 0 en V tal que B(v,w)=0 para todo w en V. Equivalente a que la aplicación lineal V → V* inducida por v ↦ B(v,−) no es inyectiva.

Principio

La degeneración es el fracaso del apareamiento bilineal para inducir un isomorfismo V ≅ V*; se detecta por la existencia de vectores isotrópicos (que aniquilan) y porque la matriz representativa tiene rango menor que dim V (determinante cero si la matriz es cuadrada).

Demostración

En F^2, con coordenadas (x,y), defina B((x1,y1),(x2,y2)) = x1 x2. La matriz asociada es [[1,0],[0,0]] por lo que (0,1) es no nulo y B((0,1),w)=0 para todo w; B es degenerada.

Aplicación incorrecta

Llamar degenerada a una forma porque no es simétrica, o porque toma cero en algunos pares concretos, sin comprobar si existe un vector no nulo que aniquile a todos los argumentos. Confundir degeneración con tener valores nulos en algunas parejas solamente.

Consecuencia

La presencia de un radical no trivial (el conjunto de vectores que aniquilan todo) impide invertir la forma para identificar V con su dual, altera la clasificación (por ejemplo la descomposición de Witt) y permite subespacios isotrópicos; construcciones canónicas (complementos ortogonales, determinantes, firmas) deben adaptarse o dejan de existir.

Inversión

Una forma bilineal no degenerada tiene núcleo trivial, induce un isomorfismo V → V* y su matriz representativa tiene rango completo; ningún vector no nulo se empareja a cero con todos los vectores.

Límite

La definición supone una forma bilineal sobre un espacio vectorial (o módulo libre) sobre un cuerpo; sobre módulos generales, anillos sin duales, o para formas sesquilineales/Hermíticas la noción y los criterios de degeneración cambian. En dimensiones infinitas conviene distinguir el dual algebraico del dual topológico.

Tensión semántica

Degenerada frente a matriz singular son conceptos próximos pero distintos: 'matriz singular' depende de la base elegida, mientras que 'forma degenerada' es invariante. Ser isotrópico (B(v,v)=0) es una noción vecina pero en general más débil que degeneración.

Síntesis

Una forma bilineal degenerada es exactamente aquella que admite un vector no nulo que aniquila todos los argumentos; algebraicamente equivale a que la aplicación hacia el dual tiene núcleo no trivial, con consecuencias sobre invertibilidad y teoría de ortogonalidad.