Dans un anneau R, un élément non nul a est un diviseur de zéro s'il existe un b non nul tel que a·b = 0 ou b·a = 0. Dans les anneaux commutatifs les deux notions coïncident ; dans les anneaux non commutatifs on distingue diviseurs de zéro à gauche et à droite.

Principe

Les diviseurs de zéro mesurent l'échec de la cancellativité et empêchent l'inversibilité : la multiplication par un diviseur de zéro peut annihiler des éléments non nuls et empêche l'élément d'être régulier ou inversible.

Démonstration

Dans Z/6Z la classe de 2 est un diviseur de zéro car 2·3 = 0 modulo 6 ; dans l'anneau des matrices 2×2 sur un corps, des matrices non inversibles non nulles peuvent être des diviseurs de zéro lorsqu'elles ont un noyau non trivial.

Mauvaise application

Supposer qu'un élément est premier ou irréductible si et seulement s'il est diviseur de zéro ; la primalité et l'irréductibilité sont liées aux diviseurs de zéro dans des quotients mais restent des notions distinctes.

Conséquence

La présence de diviseurs de zéro engendre des annihilateurs non triviaux, un spectre non réduit et des décompositions en facteurs directs ; elle empêche la cancelation dans les équations et influence la théorie des idéaux et les propriétés homologiques.

Inversion

Les éléments réguliers (non diviseurs de zéro) ou unités ont le comportement opposé : la multiplication par ces éléments est injective (ou inversible), autorisant la cancelation et les localisations.

Limite

La définition dépend de la structure d'anneau : il faut un élément non nul et l'existence d'un annihilateur non nul. Ne s'applique pas tel quel aux structures sans zéro multiplicatif ni aux structures sans multiplication binaire ; dans le non commutatif la distinction gauche/droite est essentielle.

Tension sémantique

Tension avec la nilpotence : tout nilpotent non nul dans un anneau commutatif est un diviseur de zéro, mais l'inverse est faux ; tension aussi avec la primalité puisque l'absence de diviseurs de zéro caractérise les domaines intègres.

Synthèse

Un diviseur de zéro est un élément qui annule d'autres éléments non nuls par multiplication, signalant un échec de cancellativité et une dégénérescence algébrique et géométrique dans la structure de l'anneau.