Definición
En un anillo R, un elemento no nulo a es divisor de cero si existe un b no nulo con a·b = 0 o b·a = 0. En anillos conmutativos ambas nociones coinciden; en no conmutativos se distingue entre divisores de cero a izquierda y a derecha.
Principio
Principio
Los divisores de cero miden el fallo de cancelación y obstruyen la invertibilidad: multiplicar por un divisor de cero puede aniquilar elementos no nulos, impidiendo que el elemento sea regular o unidad.
Demostración
Demostración
En Z/6Z la clase de 2 es divisor de cero porque 2·3 = 0 mod 6; en el anillo de matrices 2×2 sobre un cuerpo, matrices no invertibles pueden ser divisores de cero si tienen núcleo no trivial.
Aplicación incorrecta
Aplicación incorrecta
Suponer que un elemento es primo o irreducible sii es divisor de cero; la primalidad y la irreducibilidad se relacionan con divisores de cero en cocientes pero son nociones distintas.
Consecuencia
Consecuencia
La presencia de divisores de cero produce aniquiladores no triviales, un espectro no reducido y descomposiciones en factores directos; impide la cancelación en ecuaciones y afecta la teoría de ideales y propiedades homológicas.
Inversión
Inversión
Elementos regulares (no divisores de cero) o unidades presentan el comportamiento opuesto: la multiplicación por ellos es inyectiva (o invertible), permitiendo cancelación y construcciones de localización.
Límite
Límite
La definición depende de la estructura de anillo: hace falta un elemento no nulo y la existencia de un aniquilador no nulo. No se aplica tal cual a estructuras sin cero multiplicativo ni a estructuras sin multiplicación binaria; en no conmutativo la distinción izquierda/derecha es esencial.
Tensión semántica
Tensión semántica
Tensión con la nilpotencia: todo nilpotente no nulo en un anillo conmutativo es divisor de cero, pero no todo divisor de cero es nilpotente; también tensión con la primalidad, ya que la ausencia de divisores de cero caracteriza dominios enteros.
Síntesis
Síntesis
Un divisor de cero es un elemento que aniquila otros elementos no nulos por multiplicación, indicando fallo de cancelación y degeneración algebraica y geométrica en la estructura del anillo.