In einem Ring R ist ein von null verschiedener Faktor a ein Nullteiler, wenn es ein von null verschiedenes b mit a·b = 0 oder b·a = 0 gibt. In kommutativen Ringen fallen die beiden Begriffe zusammen; in nichtkommutativen Ringen unterscheidet man Links- und Rechtsnullteiler.

Prinzip

Nullteiler messen das Versagen der Kürzbarkeit und verhindern Invertierbarkeit: Multiplikation mit einem Nullteiler kann nichtnull Elemente annihilieren und macht das Element nicht regulär bzw. nicht invertierbar.

Demonstration

In Z/6Z ist die Klasse von 2 ein Nullteiler, denn 2·3 = 0 mod 6; in der Ring der 2×2-Matrizen über einem Körper können nichtinvertierbare, von null verschiedene Matrizen Nullteiler sein, wenn sie einen nichttrivialen Kern haben.

Fehlanwendung

Fälschlicherweise anzunehmen, ein Element sei genau dann prim oder irreduzibel, wenn es ein Nullteiler ist; Primheit und Irreduzibilität hängen mit Nullteilern in Quotienten zusammen, sind aber eigenständige Begriffe.

Konsequenz

Das Vorhandensein von Nullteilern erzeugt nichttriviale Annihilatoren, ein nichtreduziertes Spektrum und Zerlegungen in direkte Faktoren; es verhindert Kürzbarkeit in Gleichungen und beeinflusst Idealtheorie und homologische Eigenschaften.

Umkehrung

Reguläre Elemente (keine Nullteiler) oder Einheiten zeigen das umgekehrte Verhalten: Multiplikation mit ihnen ist injektiv (bzw. invertierbar), was Kürzbarkeit und Lokalisierungen ermöglicht.

Abgrenzung

Die Definition hängt von der Ringstruktur ab: es muss ein von null verschiedenes Element und ein nichttrivialer Annihilator existieren. Sie gilt nicht unmittelbar für Strukturen ohne multiplikatives Null oder ohne binäre Multiplikation; in nichtkommutativen Ringen ist die Links/Rechts-Unterscheidung wesentlich.

Semantische Spannung

Spannung zur Nilpotenz: Jedes von null verschiedene nilpotente Element in einem kommutativen Ring ist ein Nullteiler, aber nicht jeder Nullteiler ist nilpotent; ebenso Spannung zur Primheit, da das Fehlen von Nullteilern integrale Domänen charakterisiert.

Synthese

Ein Nullteiler ist ein Element, das andere von null verschiedene Elemente durch Multiplikation vernichtet, und signalisiert damit ein Versagen der Kürzbarkeit und eine algebraische bzw. geometrische Degeneration in der Ringstruktur.