Une complétion de modèle d'une théorie du premier ordre T est une théorie T* qui est un companion de modèle de T, qui est modèle-complète (toute immersion entre modèles de T* est élémentaire) et dont les modèles sont précisément les modèles existentialement clos de T.

Principe

Étendre T par des axiomes qui imposent toutes les conséquences existentielles compatibles avec T de façon à ce que les immersions préservent toutes les formules du premier ordre, transformant l'étude en un problème d'existence fermée.

Démonstration

Pour la théorie des corps, la théorie des corps algébriquement clos (ACF) est une complétion de modèle : ACF est modèle-complète et ses modèles sont exactement les corps qui sont existentialement clos parmi tous les corps.

Mauvaise application

Prendre toute extension conservative ou complète de T pour une complétion de modèle ; l'existence d'une complétion de modèle n'est pas automatique et peut échouer pour de nombreuses théories.

Conséquence

Lorsqu'une complétion existe, elle offre un contrôle uniforme des ensembles définissables (souvent élimination des quantificateurs) et une unicité à équivalence logique près, simplifiant la classification des modèles par fermeture existentielle.

Inversion

La notion inverse est une théorie T qui admet de nombreuses extensions propres ne rendant pas les immersions élémentaires ; il n'existe pas de compagnon unique capturant la fermeture existentielle et la vérité des formules peut varier selon l'extension.

Limite

S'applique aux théories du premier ordre ; toutes les théories n'ont pas de complétion de modèle. L'existence dépend souvent de propriétés d'amalgamation et de stabilité liées au langage et à l'axiomatisation.

Tension sémantique

Conflit avec l'idée de companion de modèle ou d'extension conservative : un companion de modèle n'est pas nécessairement modèle-complète, et exiger la modèle-complétude resserre les conditions d'existence et le champ sémantique.

Synthèse

La complétion de modèle est le compagnon le plus fort de T qui internalise la fermeture existentielle en garantissant que toute immersion est élémentaire, convertissant ainsi des contraintes existentielles externes en axiomes internes.