Una completación de modelo de una teoría de primer orden T es una teoría T* que es companion de modelos de T, es modelo-completa (todo inmersión entre modelos de T* es elemental) y cuyos modelos son precisamente los modelos existencialmente cerrados de T.

Principio

Extender T añadiendo axiomas que garanticen todas las consecuencias existenciales compatibles con T, de modo que las inmersiones preserven todas las fórmulas de primer orden y la clausura existencial se convierta en propiedad interna.

Demostración

Para la teoría de cuerpos, la teoría de cuerpos algebraicamente cerrados (ACF) es la completación de modelo: ACF es modelo-completa y sus modelos son exactamente los cuerpos que son existencialmente cerrados entre todos los cuerpos.

Aplicación incorrecta

Confundir cualquier extensión conservativa o completa de T con una completación de modelo; la existencia de una completación no es automática y puede no darse.

Consecuencia

Si existe una completación de modelo, proporciona control uniforme sobre los conjuntos definibles (a menudo eliminación de cuantificadores) y es única hasta equivalencia lógica, lo que facilita la clasificación de modelos por clausura existencial.

Inversión

La inversión es una teoría T con múltiples extensiones propias que no hacen elementales las inmersiones; no hay un companion único que capture la clausura existencial y la verdad de las fórmulas puede variar con la extensión.

Límite

Se aplica a teorías de primer orden; no todas las teorías tienen completación de modelo. La existencia depende de propiedades de amalgama y embebimiento y es sensible a la firma y axiomatización.

Tensión semántica

Compite con el concepto de companion de modelo o extensión conservadora: un companion puede no ser modelo-completo, y exigir modelo-completitud restringe las condiciones de existencia y el alcance semántico.

Síntesis

La completación de modelo es el companion más fuerte de T que hace intrínseca la clausura existencial al garantizar que toda inmersión sea elemental, transformando restricciones existenciales externas en axiomas internos.