Eine Modellkompletion einer erstordentlichen Theorie T ist eine Theorie T*, die ein Modellbegleiter (model companion) von T ist, modellvollständig (jede Einbettung zwischen Modellen von T* ist elementar) und deren Modelle genau die existenziell abgeschlossenen Modelle von T sind.

Prinzip

Erweitere T so, dass alle mit T verträglichen existenziellen Konsequenzen erfüllt werden und Einbettungen alle Formsätze des ersten Ordungs pränservieren, wodurch Existenz-Abgeschlossenheit zentral wird.

Demonstration

Für die Theorie der Körper ist die Theorie der algebraisch abgeschlossenen Körper (ACF) eine Modellkompletion: ACF ist modellvollständig und ihre Modelle sind genau die unter allen Körpern existenziell abgeschlossenen.

Fehlanwendung

Jede konservative oder vollständige Erweiterung von T fälschlich als Modellkompletion anzusehen; die Existenz einer Modellkompletion ist nicht garantiert und kann für viele Theorien fehlen.

Konsequenz

Existiert eine Modellkompletion, liefert sie oft Quantorenelimination und damit eine einheitliche Kontrolle über definierbare Mengen sowie eine Eindeutigkeit bis auf logische Äquivalenz, was die Modellklassifikation vereinfacht.

Umkehrung

Das Gegenteil ist eine Theorie T mit vielen echten Erweiterungen, die Einbettungen nicht elementar machen; es gibt keinen einzelnen Begleiter, der existenzielle Abgeschlossenheit erfasst, und Wahrheiten können sich ändern.

Abgrenzung

Gilt im Rahmen erstordentlicher Theorien; nicht jede Theorie besitzt eine Modellkompletion. Die Existenz hängt von Amalgamations- und Einbettungseigenschaften sowie der Signatur und Axiomatisierung ab.

Semantische Spannung

Steht im Spannungsverhältnis zum Begriff des Modellbegleiters oder konservativen Erweiterung: Ein Modellbegleiter ist nicht notwendigerweise modellvollständig, das Forderung nach Modellvollständigkeit verengt die Existenzbedingungen.

Synthese

Die Modellkompletion ist der stärkste Begleiter von T, der existenzielle Abgeschlossenheit internalisiert, indem er jede Einbettung elementar macht und so externe existenzielle Bedingungen in interne Axiome überführt.