Une théorie compagnon T* d'une théorie T est une théorie telle que (i) T et T* ont les mêmes conséquences universelles, (ii) tout modèle de T s'embedde dans un modèle de T*, et (iii) T* est modèle-complète (tout plongement entre modèles de T* est élémentaire). Lorsqu'elle existe, T* capture la fermeture modèle-complète de la partie universelle de T.

Principe

Ajouter à une théorie universelle les conséquences existentielle nécessaires pour forcer la modèle-complétude tout en préservant la partie universelle ; le compagnon est une théorie modèle-complète canonique partageant le même fragment universel que la théorie d'origine lorsque les plongements requis existent.

Démonstration

La théorie des corps algébriquement clos (ACF) est le compagnon de modèle de la théorie des corps : tout corps s'embedde dans un corps algébriquement clos, ACF est modèle-complète, et ACF et la théorie des corps ont les mêmes phrases universelles (les axiomes de corps sans clôture existentielle).

Mauvaise application

Supposer que toute théorie possède un compagnon de modèle ou confondre compagnon de modèle et complétion modèle (cette dernière exige des propriétés d'extension supplémentaires) ; utiliser un compagnon supposé sans vérifier les conditions d'embedding ou d'universalité est incorrect.

Conséquence

Lorsqu'un compagnon de modèle existe, il simplifie l'analyse modèle-théorique : il fournit souvent la modèle-complétude, un meilleur contrôle des ensembles définissables, et des simplifications pour la classification et les arguments d'élimination de quantificateurs reposant sur la clôture existentielle.

Inversion

S'il n'existe pas de compagnon de modèle, on ne peut pas passer uniformément des modèles arbitraires de T à une enveloppe modèle-complète unique ; exiger une complétion modèle (plus forte que le compagnon) peut échouer parce que certaines conséquences existentielles ne peuvent être forcées sans changer la théorie universelle.

Limite

L'existence d'un compagnon dépend de conditions syntaxiques et modèle-théoriques (exigences de type amalgame, possibilité d'embedder les modèles, préservation des universels) ; un compagnon, s'il existe, n'est pas nécessairement unique dans des sens faibles et ne garantit pas la complétude ou l'élimination de quantificateurs sans hypothèses supplémentaires.

Tension sémantique

Tension entre compagnon de modèle, complétion modèle et extensions conservatives : le compagnon préserve les conséquences universelles et atteint la modèle-complétude, tandis que la complétion modèle est un objet plus fort et souvent unique lorsque elle existe ; ces notions interagissent avec la clôture existentielle et les propriétés d'embeddding.

Synthèse

Un compagnon de modèle est une théorie modèle-complète partageant le fragment universel d'une théorie d'origine et dans laquelle tout modèle de l'origine s'embedde ; lorsqu'il existe, il offre une enveloppe modèle-complète canonique qui facilite l'analyse existentielle et structurelle.