Una teoría compañera de modelos T* de una teoría T es una teoría tal que (i) T y T* tienen las mismas consecuencias universales, (ii) todo modelo de T se embebe en un modelo de T*, y (iii) T* es modelo-completa (todo embedding entre modelos de T* es elemental). Cuando existe, T* captura el cierre modelo-completo de la parte universal de T.

Principio

Adjuntar a una teoría universal las consecuencias existenciales necesarias para forzar la modelo-completitud sin alterar la teoría universal; el compañero es una teoría modelo-completa canónica que comparte el mismo fragmento universal que la teoría original cuando existen los embeddings requeridos.

Demostración

La teoría de cuerpos algebraicamente cerrados (ACF) es compañera de modelos de la teoría de cuerpos: todo cuerpo se embebe en un cuerpo algebraicamente cerrado, ACF es modelo-completa, y ACF y la teoría de cuerpos comparten las mismas sentencias universales (los axiomas de cuerpo sin clausura existencial).

Aplicación incorrecta

Suponer que toda teoría tiene una compañera de modelos o confundir compañera de modelos con completación de modelos (esta última es más fuerte y exige propiedades de extensión adicionales); usar un compañero supuesto sin comprobar condiciones de embedding o universalidad es incorrecto.

Consecuencia

Cuando existe una compañera de modelos, simplifica el análisis modelo-teórico: suele proporcionar modelo-completitud, mejor control de conjuntos definibles y simplificaciones para la clasificación y los argumentos de eliminación de cuantificadores basados en clausura existencial.

Inversión

Si no existe compañera de modelos, no se puede pasar uniformemente de modelos arbitrarios de T a una única envoltura modelo-completa; exigir una completación de modelos (más fuerte que la compañera) puede fallar porque algunas consecuencias existenciales no pueden forzarse sin cambiar la teoría universal.

Límite

La existencia de una compañera depende de condiciones sintácticas y modelo-teóricas (requisitos tipo amalgama, embebibilidad de modelos, preservación de universales); una compañera, si existe, no garantiza por sí misma completitud o eliminación de cuantificadores sin hipótesis adicionales.

Tensión semántica

Tensión entre compañera de modelos, completación de modelos y extensiones conservativas: la compañera preserva consecuencias universales y alcanza la modelo-completitud, mientras que la completación de modelos es un objeto más fuerte y a menudo único cuando existe; estas nociones interactúan con la clausura existencial y propiedades de embedding.

Síntesis

Una compañera de modelos es una teoría modelo-completa que comparte el fragmento universal de una teoría original y en cuyos modelos se embebe cada modelo de la original; cuando existe ofrece una envoltura modelo-completa canónica que facilita el análisis existencial y estructural.