Ein Modellbegleiter T* einer Theorie T ist eine Theorie mit den Eigenschaften (i) T und T* haben dieselben universellen Folgerungen, (ii) jedes Modell von T lässt sich in ein Modell von T* einbetten, und (iii) T* ist modellvollständig (jede Einbettung zwischen Modellen von T* ist elementar). Existiert er, so bildet T* die modellvollständige Hülle des universellen Teils von T ab.

Prinzip

Man fügt einer universellen Theorie die notwendigen existenziellen Konsequenzen hinzu, um Modellvollständigkeit zu erzwingen, ohne die universelle Theorie zu ändern; der Begleiter ist eine kanonische modellvollständige Theorie, die denselben universellen Fragment wie die Ausgangstheorie teilt, wenn die Einbettungen gegeben sind.

Demonstration

Die Theorie algebraisch abgeschlossener Körper (ACF) ist der Modellbegleiter der Theorie der Körper: jeder Körper lässt sich in einen algebraisch abgeschlossenen Körper einbetten, ACF ist modellvollständig, und ACF sowie die Theorie der Körper teilen dieselben universellen Sätze (die Körperaxiome ohne existenzielle Abschlüsse).

Fehlanwendung

Zugeben, jede Theorie habe einen Modellbegleiter, oder Modellbegleiter mit Modellkompletion verwechseln (Modellkompletion ist stärker und verlangt weitere Erweiterungseigenschaften); einen angenommenen Begleiter zu verwenden, ohne Einbettungs- oder Universalitätsbedingungen zu prüfen, ist falsch.

Konsequenz

Wenn ein Modellbegleiter existiert, vereinfacht er die modelltheoretische Analyse: er bringt oft Modellvollständigkeit, bessere Kontrolle definierbarer Mengen und Erleichterungen bei Klassifikation und Quantoreneliminationsargumenten, die auf existenzieller Abschlussbildung beruhen.

Umkehrung

Gibt es keinen Modellbegleiter, kann man nicht allgemein von beliebigen Modellen von T zu einer einzigen modellvollständigen Hülle übergehen; die Forderung nach Modellkompletion (stärker als Begleiter) kann scheitern, weil manche existenziellen Konsequenzen nicht erzwungen werden können, ohne die universelle Theorie zu ändern.

Abgrenzung

Die Existenz eines Modellbegleiters hängt von syntaktischen und modelltheoretischen Bedingungen ab (Amalgam-ähnliche Anforderungen, Einbettbarkeit der Modelle, Erhaltung der Universalen); ein Begleiter muss, falls er existiert, nicht notwendigerweise Vollständigkeit oder Quantorenelimination garantieren ohne zusätzliche Voraussetzungen.

Semantische Spannung

Spannung zwischen Modellbegleiter, Modellkompletion und konservativen Erweiterungen: Der Modellbegleiter bewahrt universelle Folgen und erreicht Modellvollständigkeit, während die Modellkompletion ein stärkeres, oft eindeutiges Objekt ist, falls vorhanden; diese Begriffe stehen in Wechselwirkung mit existenzieller Abschlussbildung und Einbettungseigenschaften.

Synthese

Ein Modellbegleiter ist eine modellvollständige Theorie, die das universelle Fragment der Ausgangstheorie teilt und in deren Modelle sich jedes Modell der Ausgangstheorie einbetten lässt; sofern vorhanden bietet sie eine kanonische modellvollständige Hülle zur Vereinfachung existenzieller und struktureller Analysen.