Un ultraproduit d'une structure M par un ultrafiltre U sur un ensemble d'indices I est l'ultraproduct de la famille constante (M)_{i∈I} modulo U ; ses éléments sont des classes d'équivalence de suites dans M, et le théorème de Łoś fait de l'ultraproduit une extension élémentaire de M lorsque l'ultrafiltre est non principal.

Principe

On utilise un ultrafiltre pour identifier deux suites qui coïncident sur un ensemble jugé «grand» par U, écrasant ainsi l'information coordonnée en éléments équivalents au sens de la logique du premier ordre ; les formules du premier ordre se transfèrent par le théorème de Łoś.

Démonstration

Soit M = (N,+,·) et U un ultrafiltre non principal sur N : l'ultraproduit ∏_U M contient des classes représentées par des suites qui croissent indéfiniment et fournit ainsi un modèle non standard de l'arithmétique avec des entiers infinis et des infinitésimaux relatifs à la copie standard de N.

Mauvaise application

Considérer l'ultraproduit comme canonique sans préciser l'ultrafiltre, ou supposer que la cardinalité est préservée ; utiliser un ultrafiltre principal donne une construction triviale (ultraproduit ≅ M) et fait perdre l'intérêt des ultrafiltres non principaux.

Conséquence

Un ultraproduit produit généralement une extension élémentaire de la structure de départ, peut être fortement saturé selon U et |I|, et sert d'outil principal pour construire des modèles non standards et obtenir la réalisation de types.

Inversion

Former le produit direct sans quotient par un ultrafiltre, ou prendre un ultraproduct avec des facteurs différents, inverse la méthode : les coordonnées restent distinctes et le transfert łośien des vérités du premier ordre peut échouer dans le sens d'une extension élémentaire.

Limite

L'ultraproduit est une construction propre à la logique du premier ordre qui dépend du choix de l'ultrafiltre et de l'ensemble d'indices ; il ne préserve pas automatiquement des propriétés du second ordre et la construction de certains ultrafiltres fait intervenir le choix axiomatique.

Tension sémantique

Tension entre ultraproduct et ultraproduit : l'ultraproduct permet des facteurs distincts alors que l'ultraproduit fixe un seul facteur ; tension aussi avec d'autres constructions d'extensions élémentaires fortement saturées (par exemple le modèle monstre).

Synthèse

L'ultraproduit identifie des suites dans une même structure via un ultrafiltre pour obtenir une extension élémentaire dont les propriétés du premier ordre reflètent celles du facteur par le théorème de Łoś, facilitant la construction de modèles non standards et saturés.