Un ultraproducto de una estructura M mediante un ultrafiltro U sobre un conjunto de índices I es el ultraproducto de la familia constante (M)_{i∈I} módulo U; los elementos son clases de equivalencia de sucesiones en M, y el teorema de Łoś convierte el ultraproducto en una extensión elemental de M cuando U es no principal.

Principio

Se usa un ultrafiltro para identificar sucesiones que coinciden en un conjunto considerado «grande» por U, colapsando así la información coordenada en elementos equivalentes en sentido de primer orden; las fórmulas de primer orden se transfieren por el teorema de Łoś.

Demostración

Tomar M = (N,+,·) y un ultrafiltro no principal sobre N: el ultraproducto ∏_U M contiene clases representadas por sucesiones que crecen sin cota y por tanto produce un modelo no estándar de la aritmética con enteros infinitos relativos a la copia estándar de N.

Aplicación incorrecta

Tratar el ultraproducto como canónico sin especificar el ultrafiltro, o asumir que la cardinalidad se preserva; usar un ultrafiltro principal da una construcción trivial (ultraproducto ≅ M) y pierde el interés de las construcciones con ultrafiltros no principales.

Consecuencia

Un ultraproducto suele generar una extensión elemental de la estructura original, puede ser altamente saturado según U y |I|, y es una herramienta fundamental para construir modelos no estándar y garantizar realización de tipos.

Inversión

Formar el producto directo sin cociente por un ultrafiltro o tomar ultraproductos de factores variables invierte el método: las coordenadas permanecen distintas y la transferencia łosiana de verdades de primer orden puede fallar en el sentido de una extensión elemental.

Límite

Los ultraproductos son una construcción de lógica de primer orden que depende crucialmente de la elección del ultrafiltro y del conjunto de índices; no preservan automáticamente propiedades de orden superior y la existencia de ciertos ultrafiltros suele requerir el axioma de elección.

Tensión semántica

Tensión entre ultraproducto y ultrapower: el primero permite factores distintos mientras que ultrapower fija un único factor; tensión también con otras construcciones de extensiones elementales saturadas (por ejemplo, modelos monstruo).

Síntesis

Un ultraproducto identifica sucesiones en una única estructura mediante un ultrafiltro para producir una extensión elemental cuyas propiedades de primer orden reproducen las del factor por el teorema de Łoś, facilitando la construcción de modelos no estándar y saturados.