Ein Ultraprodukt einer Struktur M bezüglich eines Ultrafilters U auf einer Indexmenge I ist das Ultraproduct der konstanten Familie (M)_{i∈I} modulo U; Elemente sind Äquivalenzklassen von Folgen in M, und durch Łoś’ Satz wird das Ultraprodukt (bei nicht-principalem Ultrafilter) zu einer elementaren Erweiterung von M.

Prinzip

Ein Ultrafilter identifiziert Folgen, die auf einer U-großen Menge übereinstimmen, wodurch koordinatenweise Informationen zu erstordnungsäquivalenten Elementen zusammengezogen werden; erstordnungsformeln werden durch Łoś übertragen.

Demonstration

Betrachte M = (N,+,·) und ein nicht-principales Ultrafilter auf N: das Ultraprodukt ∏_U M enthält Klassen von Folgen, die unbeschränkt wachsen, und liefert so ein nichtstandardmäßiges Modell der Arithmetik mit unendlichen Elementen gegenüber der Standardkopie von N.

Fehlanwendung

Ein Ultraprodukt als kanonisch ansehen ohne den Ultrafilter anzugeben, oder annehmen, die Kardinalität bliebe erhalten; bei einem principalen Ultrafilter ist das Ultraprodukt trivial (≅ M) und verfehlt die Absicht nicht-principaler Konstruktionen.

Konsequenz

Ultraprodukte erzeugen oft elementare Erweiterungen des Ausgangsmodells, können je nach U und |I| mächtig gesättigt sein und sind ein zentrales Werkzeug zur Konstruktion nichtstandardmäßiger Modelle und zur Realisierung von Typen.

Umkehrung

Die Bildung des direkten Produkts ohne Quotientierung durch ein Ultrafilter oder das Verwenden verschiedener Faktoren kehrt die Methode um: Koordinaten bleiben unterscheiden und die Übertragung erstordnungslogischer Wahrheiten im Sinne einer elementaren Erweiterung kann versagen.

Abgrenzung

Ultraprodukte sind eine erstordnungslogische Konstruktion, die stark vom gewählten Ultrafilter und der Indexmenge abhängt; sie bewahren nicht automatisch höherstufige Eigenschaften und die Existenz bestimmter Ultrafilter setzt oft das Auswahlaxiom voraus.

Semantische Spannung

Spannung zwischen Ultraprodukt und Ultraprodukt mit verschiedenen Faktoren (ultrapower versus ultraproduct); Spannung auch gegenüber anderen Methoden, elementare und gesättigte Erweiterungen zu erzeugen (z. B. Monstermodell).

Synthese

Ein Ultraprodukt fasst Folgen in einer einzigen Struktur mittels eines Ultrafilters zu Äquivalenzklassen zusammen und erzeugt so eine elementare Erweiterung, deren erstordnungslogische Eigenschaften durch Łoś übertragen werden; dies ermöglicht die Konstruktion nichtstandardmäßiger und gesättigter Modelle.