Une relation entre deux structures dans le même langage selon laquelle elles satisfont exactement les mêmes phrases du premier ordre ; équivalemment, leurs théories complètes du premier ordre coïncident.

Principe

L'équivalence élémentaire est déterminée par l'égalité de Th(M) et Th(N) : pour toute phrase du premier ordre φ dans la signature commune, M ⊨ φ si et seulement si N ⊨ φ, de sorte que la vérité du premier ordre est préservée entre les deux structures.

Démonstration

Dans le langage purement de l'égalité (seul le symbole d'égalité), deux ensembles infinis quelconques sont équivalents élémentairement car toute phrase du premier ordre dans ce langage ne peut distinguer différentes cardinalités infinies ; ils satisfont les mêmes phrases sur l'existence d'éléments distincts mais pas sur la cardinalité au-delà de la finitude.

Mauvaise application

Supposer que l'équivalence élémentaire implique l'isomorphisme ; deux structures peuvent être équivalentes élémentairement tout en ayant des cardinalités différentes ou des structures algébriques non isomorphes — l'équivalence élémentaire ne contrôle que les propriétés exprimables au premier ordre.

Conséquence

Si deux structures sont équivalentes élémentairement, elles partagent toutes les conséquences du premier ordre, de sorte que le transfert model-théorique des propriétés valides en logique du premier ordre s'applique (mais pas des propriétés exigeant une expressivité de niveau supérieur, comme l'ordre bien fondé ou la complétude).

Inversion

La notion inverse est l'inéquivalence élémentaire : il existe une phrase du premier ordre φ qui distingue les structures (M ⊨ φ tandis que N ⊭ φ), ce qui souligne que toutes les similarités sémantiques ne sont pas captées par le premier ordre.

Limite

Nécessite une signature commune et ne concerne que les phrases du premier ordre ; elle ne compare pas des propriétés du second ordre ou de la théorie des ensembles, et n'implique aucune relation particulière de fonctions ou d'applications entre les structures.

Tension sémantique

La tension apparaît entre l'équivalence élémentaire et des notions plus fortes comme l'isomorphisme ou la bi-interprétabilité : l'équivalence élémentaire est plus grossière que l'isomorphisme (de nombreuses structures non isomorphes peuvent être équivalentes élémentairement) mais plus fine que le simple partage de certains axiomes.

Synthèse

L'équivalence élémentaire caractérise l'indiscernabilité de deux structures par les phrases du premier ordre : elles ont la même théorie complète du premier ordre, donc dans l'expressivité du premier ordre elles sont équivalentes même si elles diffèrent sur des traits non exprimables au premier ordre.