Eine Relation zwischen zwei Strukturen in derselben Sprache, dass sie genau dieselben Aussagen der ersten Ordnung erfüllen; äquivalent dazu stimmen ihre vollständigen Erste-Ordnungstheorien überein.

Prinzip

Elementare Äquivalenz wird durch die Gleichheit von Th(M) und Th(N) bestimmt: für jede Erstordnungsformel φ in der gemeinsamen Signatur gilt M ⊨ φ genau dann, wenn N ⊨ φ, sodass die Erstordnungswahrheit zwischen den beiden Strukturen erhalten bleibt.

Demonstration

In der rein auf Gleichheit beschränkten Sprache sind zwei beliebige unendliche Mengen elementaräquivalent, weil keine Erstordnungsformel in dieser Sprache verschiedene unendliche Kardinalitäten unterscheiden kann; sie erfüllen dieselben Aussagen über die Existenz unterschiedlicher Elemente, nicht jedoch Aussagen über Kardinalität jenseits der Endlichkeit.

Fehlanwendung

Anzunehmen, elementare Äquivalenz impliziere Isomorphie; zwei Strukturen können elementaräquivalent sein, aber unterschiedliche Kardinalitäten oder nichtisomorphe algebraische Strukturen haben — elementare Äquivalenz steuert lediglich erstordnungsformulierbare Eigenschaften.

Konsequenz

Sind zwei Strukturen elementaräquivalent, so teilen sie alle erstordnungslogischen Konsequenzen; damit gilt der modeltheoretische Übertrag von in der Erstordnung gültigen Eigenschaften (nicht jedoch Eigenschaften, die höhere Ausdrucksmittel erfordern wie Wohlordnung oder Vollständigkeit).

Umkehrung

Die Umkehrung ist elementare Nichtäquivalenz: Es existiert eine Erstordnungsformel φ, die die Strukturen unterscheidet (M ⊨ φ, N ⊭ φ), was betont, dass nicht alle semantischen Ähnlichkeiten durch die Erstordnung erfasst werden.

Abgrenzung

Voraussetzung ist eine gemeinsame Signatur und die Betrachtung nur erstordnungsformeln; es vergleicht keine zweitordnungs- oder mengentheoretischen Eigenschaften und impliziert keine speziellen Abbildungen zwischen den Strukturen.

Semantische Spannung

Spannung besteht zwischen elementarer Äquivalenz und stärkeren Begriffen wie Isomorphie oder Bi-Interpretierbarkeit: Elementare Äquivalenz ist gröber als Isomorphie (viele nichtisomorphe Strukturen können elementaräquivalent sein), aber feiner als das bloße Teilen mancher Axiome.

Synthese

Elementare Äquivalenz bezeichnet die Ununterscheidbarkeit zweier Strukturen durch Erstordnungsätze: Sie haben dieselbe vollständige Erstordnungstheorie, also sind sie innerhalb der Ausdrucksmöglichkeit der Erstordnung gleichwertig, auch wenn sie sich in nicht erstordnungsdefinierbaren Merkmalen unterscheiden.