Una relación entre dos estructuras en el mismo lenguaje según la cual satisfacen exactamente las mismas oraciones de primer orden; equivalentemente, sus teorías completas de primer orden coinciden.

Principio

La equivalencia elemental viene determinada por la igualdad Th(M) = Th(N): para toda oración φ de primer orden en la firma común, M ⊨ φ si y solo si N ⊨ φ, de modo que la verdad de primer orden se preserva entre las dos estructuras.

Demostración

En el lenguaje que contiene solo el símbolo de igualdad, dos conjuntos infinitos cualesquiera son equivalentes elementalmente porque ninguna oración de primer orden en ese lenguaje puede distinguir distintas cardinalidades infinitas; satisfacen las mismas oraciones sobre la existencia de elementos distintos pero no sobre cardinalidad más allá de la finitud.

Aplicación incorrecta

Suponer que la equivalencia elemental implica isomorfismo; dos estructuras pueden ser equivalentes elementalmente y, sin embargo, tener diferentes cardinalidades o estructuras algebraicas no isomorfas: la equivalencia elemental solo controla las propiedades expresables en primer orden.

Consecuencia

Si dos estructuras son equivalentes elementalmente, comparten todas las consecuencias de primer orden, de modo que se aplica el principio de transferencia modeloteórico para propiedades válidas en lógica de primer orden (pero no para propiedades que requieren expresividad de orden superior, como el ser bien ordenado o la completitud).

Inversión

La noción inversa es la inequivalencia elemental: existe alguna oración de primer orden φ que distingue las estructuras (M ⊨ φ mientras N ⊭ φ), lo que enfatiza que no todas las semejanzas semánticas quedan captadas por el primer orden.

Límite

Requiere una firma común y se ocupa exclusivamente de oraciones de primer orden; no compara propiedades de segundo orden o de teoría de conjuntos, y no implica ninguna relación particular de funciones o mapas entre las estructuras.

Tensión semántica

Hay tensión entre equivalencia elemental y nociones más fuertes como el isomorfismo o la bi-interpretabilidad: la equivalencia elemental es más gruesa que el isomorfismo (muchas estructuras no isomorfas pueden ser equivalentes elementalmente) pero más fina que el mero compartir algunos axiomas.

Síntesis

La equivalencia elemental recoge cuándo dos estructuras son indistinguibles por oraciones de primer orden: tienen la misma teoría completa de primer orden, por lo que, en el ámbito de la expresividad de primer orden, son equivalentes aunque difieran en rasgos no expresables en ese marco.